Das von Zhang Yitang bisher unvollendete Problem wurde von OpenAI erfolgreich gelöst. Menschen und GPT-6 haben zwei Wochen lang nacheinander daran weitergearbeitet, und der abschließende Beweis umfasst nur 5 Seiten.

Nach jahrzehntelanger harter Arbeit von Zhang Yitang ist das schwierige Problem der Siegel-Nullstellen endlich gelöst worden!

Ein schwieriges Problem, das die Zahlentheorie fast hundert Jahre lang geplagt hat, ist nun zu einem nur fünf Seiten langen Beweis verdichtet worden.

In den Jahren 2007 und 2022 veröffentlichte Zhang Yitang zwei Arbeiten, um es anzugehen, die letzte davon war 111 Seiten lang, und sie ergab nur eine abgeschwächte Version.

Gerade in den letzten beiden Tagen hat der Oxford-Mathematiker Ben Green einen Beweis zur Ausschließung der Siegel-Nullstellen vorgelegt, der in der Mathematikszene für Aufsehen sorgte. 

Und diese 5 Seiten stammen überraschenderweise aus einer gemeinsamen „Vibemathing“-Sitzung von Green und ChatGPT 6 Astra, das heißt, er hat den Beweis im Gespräch mit der KI erarbeitet und anschließend die Argumentation nur noch manuell neu geschrieben. 

Auf der ersten Seite der Arbeit schrieb er einen Satz: „Diese Arbeit beansprucht keine menschliche Originalität.“

Adresse der Arbeit: https://hexagonmath.org/pdf/2610.00311v1 

Man muss wissen, dass dieser Green kein gewöhnlicher Mensch ist.

Er war es, der damals gemeinsam mit Terence Tao bewiesen hat, dass in den Primzahlen beliebig lange arithmetische Folgen verborgen sind.

Am 6. Oktober hat ein internes Modell von OpenAI, dessen Name noch nicht einmal veröffentlicht wurde, dieses Problem als Erstes gelöst.

Danach haben Mathematiker mit Unterstützung der KI in einer Staffel nur 12 Tage gebraucht, um den Beweis auf 5 Seiten zu kürzen.

In den fast hundert Jahren sind Generationen von Mathematikern von Siegel bis Zhang Yitang an diesem Problem gescheitert. Dieses Mal hat die KI zuerst die Tür aufgestoßen, und die menschlichen Mathematiker sind direkt danach hineingelaufen.

Die Mathematik ist von nun an kein Berg mehr, den nur Menschen alleine erklimmen.

OpenAI löst den Staffelstart, Mathematik-Größen konkurrieren darum, die Seitenzahl zu senken

Am 6. Oktober veröffentlichte OpenAI auf einmal mehr als 700 mathematische Manuskripte. Unter diesen dicken Bänden befand sich eine sehr dünne Arbeit mit dem Titel „Einheitlicher Ausschluss der Landau-Siegel-Nullstellen“, deren Haupttext nur 8 Seiten umfasst.

Adresse der Arbeit: https://github.com/openai/math 

Nur 5 Tage später übernahm der Mathematiker William Banks von der Universität Missouri die erste Staffelübergabe. 

Er breitete die Argumentation von Grund auf neu aus und schrieb sie zu einer detaillierten 19-Seiten-Version aus, und er berechnete die Konstante, von der im ursprünglichen Beweis nur bekannt war, dass sie „existiert“, zu einem konkreten Wert: 0,003.

Adresse der Arbeit: https://arxiv.org/abs/2610.15483 

Weitere 4 Tage später schnitt Bryce Kerr von der Australian National University in Canberra den Beweis auf 6 Seiten herunter.

Er ersetzte die umständlichsten Interpolations- und Determinantenableitungen im ursprünglichen Beweis vollständig durch das „Schubfachprinzip“, das besagt, dass wenn man 10 Äpfel in 9 Schütten legt, immer mindestens eine Schütte mehr als einen Apfel enthält. 

Kerr gab im Danksagungsteil an, dass ChatGPT an der Ableitung und dem Schreiben der Arbeit beteiligt war.

Adresse der Arbeit: https://arxiv.org/abs/2610.21099 

Am 18. Oktober leitete der Stanford-Mathematiker Jared Lichtman Kerns Arbeit aufgeregt weiter und rief aus, dass es „vielleicht genau der Beweis ist, der in diesem Buch steht“. 

Der legendäre Mathematiker Erdős sagte oft, Gott habe ein Buch, in dem die schönsten Beweise jedes Theorems verzeichnet sind.

Lichtman veröffentlichte daraufhin einen Beitrag und verglich diese Szene mit dem Ereignis, als Bannister 1954 als erster Mensch eine Meile in unter 4 Minuten gelaufen ist.

5 Seiten, um den hundertjährigen Geist zu vertreiben

Um die Verteilung von Primzahlen zu untersuchen, nutzen Mathematiker eine Art von Werkzeugen, die L-Funktionen genannt werden. Je weiter ihre Nullstellen von 1 entfernt sind, desto gleichmäßiger sind die Primzahlen verteilt, doch manche L-Funktionen können eine reelle Nullstelle enthalten, die extrem nah an 1 liegt.

Das sind die Siegel-Nullstellen. Sie sind wie ein Geist, den niemand je gesehen hat, und niemand kann beweisen, dass er nicht existiert.

Seit fast hundert Jahren haben zahlreiche Theoreme über die Verteilung von Primzahlen immer einen Nachteil: „es sei denn, die Siegel-Nullstellen existieren“.

Die Schranke, die Zhang Yitang in seiner Arbeit von 2022 angegeben hat, lag noch weit davon entfernt, den Geist vollständig zu vertreiben.

Dieses Mal hat OpenAI bewiesen, dass diese Nullstellen, die extrem nah an 1 liegen, überhaupt nicht existieren.

Das bedeutet, dass zwischen allen Nullstellen und der Zahl 1 mindestens ein gewisser Abstand besteht, und der Geist hat von nun an keinen Ort mehr, an dem er sich verstecken kann.

Das ist zwar noch nicht die Riemann-Hypothese, aber für Menschen, die klassische analytische Zahlentheorie erforschen, hat dieser Geist mehrere Generationen von Mathematikern blockiert. 

Greens 5-Seiten-Beweis verwendet die Methode des Widerspruchsbeweises. Wenn man annimmt, dass der Geist existiert, kann man eine ganze Zahl herleiten, die nicht existieren kann.

Wenn der Geist existiert, sind die meisten kleinen Primzahlen gezwungen, auf derselben Seite zu stehen. Green nutzt diese Primzahlen, um eine riesige positive ganze Zahl det G zu konstruieren, deren Größe eine Obergrenze hat.

Der entscheidende Schritt funktioniert wie ein Spiegelbild. Wenn man diese Primzahlen zur p-ten Potenz erhebt, verwandelt sich √d in −√d, und det G wird dadurch schichtweise durch sie teilbar, sodass sie mindestens immer größer werden muss. 

Auf der einen Seite steht die Obergrenze, auf der anderen Seite steigt die Untergrenze stetig an. Wenn die Untergrenze die Obergrenze durchbricht, entsteht ein Widerspruch, und der Geist verschwindet.

Im Vergleich zur ursprünglichen Version von OpenAI bleibt Green während des gesamten Beweises in einem kleineren Zahlkörper, und die Determinante wird direkt als expliziter Ausdruck geschrieben. 

Sein Forschungsthema wurde von der KI vorgegriffen, und er schrieb diese 5 Seiten selbst

Dieser Durchbruch traf Green direkt selbst. Im Juni erhielt er gerade das hochrangige Förderungsprogramm des Europäischen Forschungsrats. Vier Monate später waren etwa drei Viertel seiner Forschungsziele bereits von der KI gelöst worden.

Er schrieb in der gemeinsamen Aufsatzsammlung der Mathematik-Community „Proofs and Prompts“: 

 Ich habe nicht erwartet, dass einige dieser Ergebnisse so ein großes Ausmaß haben würden, das hat mich sehr schockiert.

Obwohl ein großer Teil seines Forschungsthemas von der KI übernommen wurde, reagierte Green unerwartet: 

An Ideen fehlt es überhaupt nicht. In gewisser Weise ist der Druck sogar verschwunden, gerade weil das Ausmaß der Ergebnisse so groß ist.

Terence Tao war nicht so locker. Es tat ihm leid, dass hinter diesen KI-Beweisen keine Person steht, die Fragen beantworten, Vorträge halten, Studenten betreuen und an der Weiterentwicklung teilnehmen kann.