Die Wang-Vermutung wurde gerade auf vier Dimensionen erweitert.
Im Juli dieses Jahres gewannen Wang Hong und Deng Yu auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Philadelphia die Fields-Medaille.
In den Tagen, als die Nachricht viral ging, veröffentlichte Alek Dimitriev, Mitarbeiter von Anthropic, auf X einen Satz:
Diese Ausgabe der Fields-Medaille wird das letzte Mal sein, dass ein Mensch diesen Preis erhält.
Der ehemalige Preisträger Timothy Gowers kommentierte den Beitrag und sagte, er habe ähnliche Gedanken gehabt.
Allerdings gibt es bei diesem Prozess eine Verzögerung, also denke ich, dass sie es bis etwa 2030 schaffen werden.
Wer hätte das gedacht… Gowers, du warst wahrscheinlich noch zu optimistisch.
Am 7. Oktober veröffentlichte OpenAI auf einen Schlag 722 mathematische Manuskripte, wobei alle Arbeiten und einige Lean-Beweise vollständig auf GitHub hochgeladen wurden.
Darunter gibt es eine Gruppe mit der Nummer 074, die nur zwei Arbeiten umfasst, genau in dem Forschungsbereich, für den Wang Hong den Preis erhalten hat: Die Kakeya-Vermutung.
Eine Arbeit behauptet, die Kakeya-Maximalfunktionsvermutung im dreidimensionalen Raum zu beweisen, eine stärkere Version als die, die von Wang Hong und Zahl bewiesen wurde.
Die andere Arbeit behauptet, die Kakeya-Vermutung im vierdimensionalen Raum zu beweisen.
Die beiden Manuskripte umfassen zusammen 272 Seiten, und das Feld für die Autoren enthält nur ein Wort: OpenAI.
Kurz nachdem Wang Hong und Joshua Zahl die Dimensionsvermutung für dreidimensionale Kakeya-Mengen gelöst hatten, hat die KI die entsprechenden Ergebnisse direkt auf den vierdimensionalen Raum ausgeweitet.
Sollte etwa… diese diesjährige Fields-Medaille wirklich die letzte Auszeichnung im Bereich der menschlichen Mathematik sein?
Was genau behandeln die beiden Kakeya-Arbeiten von OpenAI?
Im Jahr 1917 stellte der japanische Mathematiker Sōichi Kakeya eine Frage: Wie klein muss die Fläche mindestens sein, damit eine Nadel der Länge 1 auf einer Ebene um 180 Grad gedreht und um die volle Umlaufbahn bewegt werden kann?
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Besicovitch gab eine kontraintuitive Antwort: Die Fläche kann beliebig klein sein. Noch erstaunlicher ist, dass eine Menge, die eine Einheitsnadel in jeder Richtung aufnehmen kann, eine Fläche von Null haben kann.
Da die Fläche keine zuverlässige Größe darstellt, wechselten die Mathematiker zu einem anderen Maßstab und verwendeten die "Dimension" zur Messung.
Die hier genannte "Dimension" ist nicht nur das alltägliche Konzept von Länge, Breite und Höhe. Für Mengen mit extrem unregelmäßiger Form verwenden Mathematiker Werkzeuge wie die Hausdorff-Dimension und die Minkowski-Dimension, um ihre Komplexität auf verschiedenen Skalen zu messen.
Das Volumen einer Menge kann 0 sein, aber sie kann dennoch die volle räumliche Dimension besitzen.
Die Kakeya-Vermutung besagt: Im n-dimensionalen Raum muss eine Menge, die in jeder Richtung ein Einheitsintervall aufnehmen kann, die volle Dimension n haben.
Die Schwierigkeit liegt darin, wie diese scheinbar dünnen Linien einander kreuzen und überlappen, und ob die Menge nach der Überlappung noch weiter verkleinert werden kann.
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Der ebene Fall wurde bereits 1971 von Davies bewiesen; der dreidimensionale Fall blieb ein halbes Jahrhundert lang ungelöst, bis er im Februar 2025 von Wang Hong und Joshua Zahl gelöst wurde.
Für den vierdimensionalen Raum und höhere Dimensionen gibt es bis heute keinen gültigen Beweis.
Die beiden von OpenAI veröffentlichten Manuskripte behandeln jeweils zwei Versionen des Kakeya-Problems.
Erste Arbeit: Die Kakeya-Maximalfunktionsvermutung im dreidimensionalen Raum
Es handelt sich weiterhin um den dreidimensionalen Raum, aber das Problem wird in einer schwierigeren Version formuliert.
Man kann es zunächst als ein Problem der "Steuerung von Rohrüberlappungen" verstehen: Viele dünne Rohre werden in den dreidimensionalen Raum gelegt, wobei jedes Rohr eine Richtung der Nadel darstellt.
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Die Mathematiker untersuchen, in welchem Maße sich diese Rohre überlappen können, wenn sie in unterschiedliche Richtungen zeigen, und ob diese Überlappung durch eine einheitliche Abschätzung gesteuert werden kann.
Wang Hong und Zahl bewiesen die "Mengen-Version", die untersucht, wie viel Platz die gesammelten Nadeln mindestens belegen.
Die von OpenAI bewiesene "Maximalfunktions-Version" geht jedoch noch detaillierter vor:
Jede Nadel wird zu einem dünnen Rohr verdickt, und angenommen, dass nur ein Teil jedes Rohrs "massiv" ist, wobei dieser Anteil mit λ bezeichnet wird. Kann sichergestellt werden, dass das Volumen der Vereinigung aller massiven Teile nicht kleiner als die Größenordnung λ³ ist?
Je kleiner λ ist, desto leerer ist das Rohr und desto schwieriger ist die Steuerung. Für die Mengen-Version reicht ein relativ lockerer Potenzexponent von λ aus, während die Maximalfunktions-Version verlangt, dass dieser Exponent genau 3 beträgt.
Dieser Punkt wird auch in der Einleitung der OpenAI-Arbeit ausdrücklich erwähnt: Der Satz von Wang Hong und Zahl liefert einen Exponenten von K(ε) für λ, und die "Forderung nach λ³" wurde nach ihrem Satz bereits explizit formuliert.
Das bedeutet, dies war der nächste Schritt, den Wang Hong und Zahl noch offen gelassen haben. Und diese 97-seitige Arbeit von OpenAI behauptet, diesen Schritt gelöst zu haben.
Warum ist das wichtig? Weil die Kakeya-Maximalfunktion das Problem, wie dünne Rohre in allen Richtungen dicht zusammengepresst werden können, zu einem berechenbaren analytischen Problem macht.
Sie steht in Verbindung mit einigen zentralen Vermutungen der Fourier-Analyse und gilt seit langem als wichtiges Werkzeug zum Verständnis von Wellen, Frequenzen und räumlichen Konzentrationsphänomenen.
Im Jahr 1971 konstruierte Fefferman mit Kakeya-Mengen ein Gegenbeispiel, um zu beweisen, dass die Multiplikatoren von Kugeln in höheren Dimensionen außerhalb von L² nicht beschränkt sind. Seitdem ist das Kakeya-Problem eng mit der Fourier-Restriktionsvermutung und der Bochner-Riesz-Vermutung verknüpft.
Zweite Arbeit: Die Hausdorff-Dimension von vierdimensionalen Kakeya-Mengen
Im vierdimensionalen Raum sah der menschliche Fortschritt bisher so aus:
1995 bewies Wolff mit der "Bürsten"-Methode, dass die Dimension mindestens 3 beträgt;
Später erweiterten Guth und Zahl das Ergebnis mit Polynommethoden auf 3+1/40, also etwa 3,025;
2019 erweiterten Katz und Zahl es mit der "Ebenen-Bürste" auf 3,059;
Danach bewegten sich die Fortschritte fast nur noch auf der zweiten oder dritten Nachkommastelle.
Diese 175-seitige Arbeit von OpenAI behauptet, das Ergebnis direkt auf 4 zu erweitern.
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Wo liegt die Schwierigkeit im vierdimensionalen Raum? Guth wies in seinem Übersichtsartikel darauf hin, dass der zentrale Satz aus dem dreidimensionalen Beweis von Wang Hong und Zahl nicht mehr gültig ist, wenn er auf den vierdimensionalen Raum übertragen wird.
Denn im höherdimensionalen Raum können sich Rohre in der Nähe niedriggradiger algebraischer Flächen ansammeln und Gegenbeispielstrukturen bilden, die es im dreidimensionalen Raum nicht gibt.
Das Kernwerkzeug der vierdimensionalen Arbeit von OpenAI zielt genau auf dieses Problem ab: Es werden quadratische Polynome verwendet, um lokale Anpassungen auf verschiedenen Skalen durchzuführen und die Linien zu verfolgen, die sich über mehrere Skalen hinweg konzentrieren.
In der gesamten Arbeit taucht das Wort "polynomial" 213 Mal auf.
Es gibt noch ein weiteres Detail: Eine der wichtigen Eingaben der vierdimensionalen Arbeit ist ein Lemma zitiert, das aus der dreidimensionalen Arbeit von OpenAI stammt. Das bedeutet, die beiden Arbeiten bilden eine zusammenhängende Kette, und die stärkere dreidimensionale Version ebnet den Weg für den vierdimensionalen Fall.
Man kann also sagen, dass die Ergebnisse von Wang Hong um einen großen Schritt vorangebracht wurden. Im dreidimensionalen Raum wurde ihr Satz auf die Maximalfunktions-Version erweitert, und im vierdimensionalen Raum wurde ein Problem, das bisher bei etwa 3 lag, direkt auf 4 gebracht.
Dennoch hat diese Arbeit noch Grenzen: Für den vierdimensionalen Fall wurde nur die Hausdorff-Dimensions-Version bewiesen, die Maximalfunktionsvermutung im vierdimensionalen Raum ist noch nicht gelöst; für Dimensionen ab 5 gibt es keinen vollständigen Beweis, die Arbeit liefert nur eine untere Schranke mittels Projektionen.
Außerdem ist bemerkenswert, dass die Ergebnisse der Gruppe Nummer 074 keine Lean-Formalisierung aufweisen und noch nicht von Fachkollegen begutachtet wurden.
OpenAI schreibt in der README-Datei: Einige nicht formalisierte Ergebnisse "können Fehler enthalten".
Was hat Wang Hong erreicht?
Einige sagen, Wang Hong hatte Glück, die Fields-Medaille noch vor der KI zu gewinnen.
Ist das wirklich so?
Wenn man die gesamten beiden Arbeiten von OpenAI durchblättert, ist einer der Namen, der am häufigsten vorkommt, der von Wang Hong.
Allein in der dreidimensionalen Arbeit taucht der Name "Wang" 23 Mal auf.
Der dreidimensionale Kakeya-Gipfel wird von menschlichen Mathematikern seit vielen Jahren erklommen.
Katz, Łaba und Tao erkannten schon früh, dass fast extremale Rohrkonfigurationen drei Strukturen aufweisen: Klebrigkeit, Ebenheit und Körnigkeit.
Aber über Jahrzehnte konnte niemand daraus einen vollständigen Beweis erstellen.
Wang Hong und Zahl gingen in drei Schritten vor:
2022 bewiesen sie zunächst den Fall von "klebrigen" Kakeya-Mengen, der später im "Journal of the American Mathematical Society" veröffentlicht wurde.
2024 erzielten sie die Assouad-Dimensions-Version.
Im Februar 2025 veröffentlichten sie einen 127-seitigen vollständigen Beweis, der sowohl die Hausdorff-Dimensions- als auch die Minkowski-Dimensions-Version der dreidimensionalen Kakeya-Mengenvermutung löste.
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Nets Katz bewertete dies als ein "Ergebnis, das einmal in hundert Jahren vorkommt".
In derselben Zeit lösten Wang Hong und Ren Kang auch die Furstenberg-Mengenvermutung auf der Ebene, ein altes Problem der harmonischen Analyse.
All diese Arbeiten bilden jetzt die Grundlage für die Arbeiten von OpenAI.
Die dreidimensionale Arbeit verwendet direkt den vereinfachten Beweis