Nachdem wir alle 722 mathematischen Manuskripte von OpenAI übersetzt haben, haben wir die 30 berühmtesten und anspruchsvollsten Probleme herausgefiltert.

Am Morgen des 7. Oktober hat OpenAI 722 mathematische Manuskripte, die von einem noch unveröffentlichten internen Modell erzeugt wurden, auf einmal auf GitHub hochgeladen. Der gesamte Hintergrund der Veröffentlichung, die Hintergrundinformationen zum Modell und die Kontroversen in der Mathematikgemeinde haben wir in unserem vorherigen Bericht bereits erläutert. In diesem Artikel wechseln wir die Perspektive, öffnen das Repository und werfen einen Blick darauf, welche Ergebnisse sich tatsächlich in der Liste befinden.

Adresse des Repositorys: https://github.com/openai/math

Zuerst sind einige Erläuterungen erforderlich:

Erstens, diese 722 Manuskripte sind in 372 „Ergebnisfamilien“ unterteilt, die 17 Bereiche wie Zahlentheorie, Geometrie, Theoretische Informatik, Mathematische Physik und andere abdecken. In diesem Artikel stellen wir die bekanntesten und mit den ältesten Problemen verbundenen Ergebnisse nach Bereichen vor.

Zweitens, die Liste enthält sowohl „Beweise“ als auch „Widerlegungen“. Nach unserer groben Suche gibt es etwa 50 Ergebnisfamilien, in deren Zusammenfassungen die Begriffe „Widerlegung“ oder „Gegenbeispiel“ auftauchen. Einige Vermutungen, die seit mehr als einem halben Jahrhundert verbreitet sind, wurden widerlegt, nicht bewiesen.

Drittens und das Wichtigste: Alle Ausdrücke wie „bewiesen“ oder „gelöst“ im Folgenden sind die Formulierungen von OpenAI selbst, die überwiegende Mehrheit davon wurde noch nicht von Fachkollegen begutachtet. Etwa 60 % der Ergebnisfamilien sind mit einer Lean-Formalisierung versehen, also einem Beweis, der zeilenweise von einem Computer überprüft wurde, was wir bei der Erwähnung angeben; Ergebnisse ohne Formalisierung gelten derzeit nur als „Behauptung“.

Zahlentheorie: Von Riemann bis Hilbert

Die Zahlentheorie ist der erstaunlichste Teil dieser Liste, unter den 31 Ergebnisfamilien gibt es mehrere, die direkt mit den berühmtesten Namen der Geschichte verbunden sind.

Die Quasi-Riemann-Hypothese an Position 003 im Repository ist eine der am weitesten verbreiteten. Riemann stellte 1859 die Vermutung auf, dass alle nicht trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion auf einer vertikalen Geraden liegen. Dieses ultimative Ziel ist noch zu weit entfernt, daher haben Mathematiker sich damit begnügt, zumindest zu beweisen, dass rechts von einer bestimmten vertikalen Linie keine Nullstellen mehr liegen. Mehr als hundert Jahre lang ist dies nie gelungen. OpenAI behauptet, diese Linie auf die Position 7/8 gelegt zu haben, die sowohl für die Zeta-Funktion als auch für alle Dirichlet-L-Funktionen gleichzeitig gilt, und hat eine Lean-Formalisierung beigefügt.

Quasi-Riemann-Hypothese

Die BSD-Vermutung, die zu den Millennium-Preis-Problemen gehört, taucht ebenfalls in der Liste auf. Sie beschreibt die genaue Korrespondenz zwischen der Anzahl der rationalen Punkte auf einer elliptischen Kurve und dem Verhalten einer analytischen Funktion an einem bestimmten Punkt. Die Ergebnisfamilien 002 und 006 von OpenAI behaupten zusammen, dass die vollständige BSD-Formel für „fast alle“ quadratischen Twist jeder rationalen elliptischen Kurve bewiesen wurde; bei der Ergebnisfamilie 006 wurde nebenbei auch die Goldfeld-Vermutung bewiesen, die der Zahlentheoretiker Dorian Goldfeld 1979 aufgestellt hat. Beide Ergebnisse sind nicht formalisiert.

BSD-Formel

Goldfeld-Vermutung

Die Ergebnisfamilie 004 bezieht sich auf das zehnte der 23 Probleme, die Hilbert im Jahr 1900 aufgestellt hat. Die ursprüngliche Frage lautet: Gibt es einen universellen Algorithmus, der bestimmen kann, ob eine beliebige Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ganzzahlige Lösungen hat? 1970 gab Yuri Matiyasevich auf der Grundlage früherer Arbeiten eine negative Antwort. Wenn man aber „ganzzahlige Lösungen“ durch „rationale Lösungen“ ersetzt, blieb das Problem mehr als ein halbes Jahrhundert ungelöst. OpenAI behauptet, dass die Antwort auf diese Version ebenfalls negativ ist, auch dieses Ergebnis ist nicht formalisiert.

Hilberts zehntes Problem (auf dem Körper der rationalen Zahlen)

Es gibt zwei weitere Ergebnisse, deren Fragestellung auch normale Leser auf einen Blick verstehen können.

Das eine ist die Catalan-Konstante, also die Summe 1 minus 1/9 plus 1/25 minus 1/49 und so weiter im Wechsel. Bisher wusste niemand, ob sie eine irrationale Zahl ist; OpenAI behauptet, dass dies der Fall ist.

Catalan-Konstante

Das andere betrifft die Frage, „wie schwer die Zahl π durch Brüche angenähert werden kann“: Bisher konnten Mathematiker eine obere Schranke von etwa 7,1 beweisen, OpenAI behauptet, dass der Optimalwert genau 2 ist, das heißt, π ist in dieser Hinsicht so gewöhnlich wie „fast alle“ irrationalen Zahlen. Dabei wurde nebenbei ein seit Jahren in der Unterhaltungsmathematik verbreitetes Problem gelöst, nämlich ob die sogenannte Flint-Hills-Reihe konvergiert. Beide Ergebnisse sind mit einer Lean-Formalisierung versehen.

Irationalitätsmaß von π

Algebraische Geometrie: Ein Teil der Hodge-Vermutung und das Rätsel der Rationalität

Algebra und komplexe Geometrie belegen mit 36 Ergebnisfamilien den dritten Platz. Das auffälligste Ergebnis hier ist die Nummer 032: Die rationale Hodge-Vermutung für alle komplexen CM-Abelschen Varietäten wurde bewiesen. Die Hodge-Vermutung gehört zu den Millennium-Preis-Problemen, im Wesentlichen besagt sie, dass bestimmte Objekte, die „topologisch wie geometrische Objekte aussehen“, tatsächlich durch algebraische Gleichungen geschnitten werden können. CM-Abelsche Varietäten sind eine spezielle Klasse von Objekten mit starker Symmetrie, also noch lange nicht alle Fälle, aber OpenAI behauptet, dass dieses Ergebnis mithilfe des früheren Satzes von James Milne auch die Tate-Vermutung für alle Abelschen Varietäten über endlichen Körpern implizieren kann. Die README des Repositorys weist ausdrücklich darauf hin, dass dieses Ergebnis nicht dem Standardprozess des Modells folgt und derzeit nicht formalisiert ist.

Hodge-Vermutung für CM-Abelsche Varietäten

Ein weiteres bemerkenswertes Ergebnis ist die Nummer 054. Ob eine dreidimensionale vierdimensionale Varietät rational parametrisiert werden kann, ist ein berüchtigtes schwieriges Problem in der algebraischen Geometrie. Alexander Kuznetsov hat einmal eine Vermutung aufgestellt, die mit der Sprache von „Kategorien“ beurteilt werden kann. OpenAI behauptet, Beispiele konstruiert zu haben, die dieses Kriterium erfüllen, aber trotzdem nicht rational parametrisiert werden können, und damit die Vermutung widerlegt zu haben.

Kubische vierdimensionale Varietät (Gegenbeispiel zur Kuznetsov-Vermutung)

Noch abstrakter geht es bei der Ergebnisfamilie 069 zur quanten-geometrischen Langlands-Korrespondenz zu. 2024 haben Dennis Gaitsgory und andere die geometrische Langlands-Vermutung mit einer Serie von fast tausend Seiten langen Papieren bewiesen. OpenAI behauptet, auch ihre „Quanten“-Version unter irrationalen Parametern gelöst zu haben.

Quanten-geometrische Langlands-Korrespondenz

Die Ergebnisfamilie 008 behauptet, die Deligne-Drinfeld-Vermutung zur Struktur der Grothendieck-Teichmüller-Lie-Algebra gelöst zu haben, und ist mit einer Lean-Formalisierung versehen.

Deligne-Drinfeld-Vermutung

Analysis und Geometrie: Kakeya, Mahler und die Vermutungen vor hundert Jahren

Auch im Bereich Geometrie und Analysis gibt es eine Vielzahl berühmter Probleme.

Das Kakeya-Problem (Nummer 074) stammt aus einer kleinen Frage des japanischen Mathematikers Sōichi Kakeya im Jahr 1917: Welche ist die kleinste Fläche, die ein Stift überstreichen muss, um sich in der Ebene um 360 Grad zu drehen? Seine höherdimensionale Version hat sich zu einem der Kernprobleme der harmonischen Analysis entwickelt. Im Juli dieses Jahres erhielt Wang Hong den Fields-Preis für den Beweis der Vermutung zu dreidimensionalen Kakeya-Mengen gemeinsam mit Joshua Zahl; OpenAI behauptet, darüber hinaus weitergegangen zu sein, die stärkere dreidimensionale Version und die Dimensionsvermutung im vierdimensionalen Raum bewiesen zu haben. Dieses Ergebnis ist nicht formalisiert und gehört zu den Ergebnissen, die am dringendsten von Experten begutachtet werden müssen.

Starke Kakeya-Vermutung im dreidimensionalen Raum