Sensation im gesamten Netz: Ein bisher ungelöstes Problem eines Fields-Preisträgers wurde überraschenderweise von zwei Oberschülern mithilfe künstlicher Intelligenz gelöst.
Kannst du das glauben?
Ohne jemals an einer Universität studiert zu haben, haben sie die Arbeit eines Fields-Medaillen-Trägers fortgesetzt.
Erst heute verbreitete sich eine schockierende Nachricht im UCLA Mathematics Circle —
Zwei Schüler der Oberstufe, Aayush Bathija und Prince Rohatgi, haben unter der Anleitung eines Postdoktoranden ein ungelöstes Problem gelöst, an dem der Fields-Medaillen-Träger June Huh bisher nicht arbeiten konnte.
Noch beeindruckender ist, dass dieser Beweis unter starker Mitwirkung von KI abgeschlossen wurde!
Die eingesetzten KI-Tools sind Claude Opus 5 und GPT-5.6 Sol.
Der 75-seitige Aufsatz mit dem Titel „Begrenzte Verhältnisse von Lorentz-Polynomen“ wurde inzwischen auf arXiv veröffentlicht.
Aufsatz: https://arxiv.org/pdf/2609.05341
Die Namen der beiden Oberstufenschüler und des Postdoktoranden stehen direkt in der Autorenliste.
Der Betreuer der Schüler, der UCLA-Postdoktorand Daniel Soskin
Welches Problem haben sie in dieser Forschung eigentlich gelöst?
Um das zu verstehen, müssen wir zuerst von der Arbeit des Fields-Medaillen-Trägers June Huh ausgehen.
Was genau haben sie gelöst?
June Huh ist Südkoreaner und erhielt 2022 die Fields-Medaille.
Sein Lebenslauf ist sehr legendär: Er brach die Oberstufe ab, um Dichter zu werden, und wandte sich erst später der reinen Mathematik zu. Mit 39 Jahren erhielt er die Fields-Medaille knapp vor der Altersgrenze von 40 Jahren.
Die 2020 von ihm und seinen Koautoren entwickelte Theorie der Lorentz-Polynome ist eines seiner wichtigsten repräsentativen Werke.
Der Name mag unbekannt klingen, aber Polynome kennen wir schon aus der Schulzeit: Die Zahlen vor jedem Term heißen Koeffizienten.
Das Besondere an Lorentz-Polynomen ist, dass zwischen diesen Koeffizienten strenge mathematische Einschränkungen gelten, sie können nicht beliebig kombiniert werden.
Diese Theorie verbindet Probleme aus der Kombinatorik mit Geometrie und Ungleichungen zwischen Koeffizienten.
Die vorliegende Forschung fragt nun, wie stark diese Einschränkungen tatsächlich sind.
Wenn man einige Koeffizienten multipliziert und durch andere dividiert, erhält man ein Verhältnis.
Gilt für dieses Verhältnis eine unüberwindbare Obergrenze, solange das Polynom die festgelegten Bedingungen erfüllt?
Erinnerst du dich noch an die Definition der klassischen Hesse-Matrix aus der höheren Mathematik?
Es ist nicht schwer, das Verhältnis einer bestimmten Gruppe von Koeffizienten zu berechnen. Die eigentliche Schwierigkeit liegt darin, bei unendlich vielen gültigen Polynomen zu bestimmen, welche Verhältnisse immer eine Obergrenze haben und welche beliebig groß werden können.
Wenn es eine Obergrenze gibt, stellt sich die weitere Frage: Wie niedrig kann diese Obergrenze maximal sein, um das genaueste Ergebnis zu liefern?
Zuvor haben June Huh und seine Koautoren bereits für quadratische Lorentz-Polynome beschrieben, welche Verhältnisse eine Obergrenze haben, und die optimale Obergrenze für den Fall mit drei Variablen berechnet.
Aber dieser Weg war noch nicht zu Ende gegangen.
Gelten die bisherigen Regeln noch, wenn man von quadratischen auf kubische, quartische oder beliebig hohe Grade übergeht?
Je höher der Grad ist, desto komplexer sind die Beziehungen zwischen den Koeffizienten. Die für den quadratischen Fall gültigen Schlussfolgerungen lassen sich nicht direkt auf höhere Fälle übertragen.
Das ist genau die Lücke, an der die beiden Oberstufenschüler mit ihrer Forschung angesetzt haben —
Sie haben die Forschung zu den Koeffizientenverhältnissen auf höhere Grade ausgeweitet, herausgefunden, welche Verhältnisse immer beschränkt sind, und die genauesten Obergrenzen ermittelt.
Das Kernstück des Aufsatzes, der „Hauptstruktursatz“, erweitert die bisherigen Ergebnisse zu quadratischen Lorentz-Polynomen auf beliebige Grade. Er zeigt, ob ein Koeffizientenverhältnis eine einheitliche Obergrenze hat, kann vollständig anhand einer Bedingung der diskreten Konvexität bestimmt werden.
An dieser Stelle brauchst du nur eine Frage im Kopf behalten: Wie hoch können die Verhältnisse durch diese eingeschränkten Koeffizienten maximal getrieben werden?
Im Folgenden erklären wir diese „Obergrenze“ anhand eines einfachen Beispiels.
Lorentz-Polynome: Ausgewogene Einschränkungen zwischen den Koeffizienten
Betrachten wir zuerst ein Polynom:
Dabei sind a, b und c alle positive Zahlen. Der mittlere Term wird als 2b geschrieben, um die späteren Beziehungen einfacher zu gestalten.
In diesem einfachsten Fall gilt für das Lorentz-Polynom genau die folgende Bedingung:
Das heißt: Wenn die Koeffizienten an den beiden Enden sehr groß sind, darf der mittlere Koeffizient nicht zu klein sein. Das ist ein einfaches Einstiegsbeispiel für die logarithmische Konkavität, die die Lorentz-Struktur aufweist.
Wenn zum Beispiel a=4 und c=9 gilt, muss b ≥ 6 sein. Du kannst b nicht willkürlich auf 1 setzen und erwarten, dass das Polynom noch zur Lorentz-Familie gehört.
Bei mehr Variablen und höheren Graden werden diese Einschränkungen komplexer, verschiedene Ableitungsergebnisse müssen gemeinsam bestimmte Bedingungen erfüllen. Die formale Definition beinhaltet eine Matrix zur Beschreibung der Krümmung, die im strengen Fall eine Eigenwertstruktur mit „einem positiven und allen anderen negativen Werten“ aufweist — genau diese Vorzeichenstruktur gibt dem Begriff „Lorentz“ seinen Namen. Es reicht aber zu verstehen, dass die Koeffizienten einer Reihe von miteinander verbundenen Einschränkungen unterliegen, um den Hauptverlauf dieses Artikels nachvollziehen zu können.
Wir formen die obige Ungleichung um:
Das nennt man ein „beschränktes Verhältnis“: Egal welche gültigen Koeffizienten man auswählt, dieses Verhältnis überschreitet niemals den Wert 1.
Umgekehrt gilt aber:
Es gibt keine einheitliche Obergrenze.
Wenn man zum Beispiel a=c=1 festlegt und b ständig vergrößert, erfüllt das Polynom immer noch die Lorentz-Bedingung, während das umgekehrte Verhältnis beliebig groß werden kann.
Daraus ergibt sich natürlich die Frage:
Welche Kombinationen aus Multiplikation und Division verschiedener Koeffizienten haben bei komplexeren Polynomen eine Obergrenze und welche nicht?
Dieser Aufsatz beantwortet diese Frage systematisch, wobei das oben genannte quadratische Beispiel zu den bereits bekannten Grundfällen gehört.
Zwei Schüler haben gemeinsam mit KI das Problem gelöst
Die beiden Autoren des Aufsatzes, Aayush Bathija und Prince Rohatgi, kommen beide von der Oak Park High School in Kalifornien.
Sie sind gleichzeitig Mitglieder des UCLA Olga Radko Math Circle (ORMC).
Aayush ist in der 11. Klasse und hat die Qualifikation für den AIME-Wettbewerb erworben. Prince besucht zurzeit die 12. Klasse, hat ebenfalls am AIME teilgenommen und leitet im Math Circle die Wettbewerbsvorbereitung für AMC 10/12, das entspricht dem Niveau der 10. Klasse.
Früher brauchte ein Oberstufenschüler mindestens 5 bis 8 Jahre Universitäts- und Doktorandenausbildung, um sich in Bereiche auf Fields-Medaillen-Niveau vorzuarbeiten.
Dieses Mal aber haben sie unter der Anleitung des Postdoktoranden Daniel Soskin aus der UCLA-Mathematikfakultät gemeinsam mit KI einen beeindruckenden Blitzsieg errungen.
https://circles.math.ucla.edu/circles/index.shtml
Der Kern ihres Lösungsansatzes bestand darin, KI und formale Berechnungstools tief in den Arbeitsablauf der mathematischen Entdeckung einzubetten.
Der grundlegende Beweisansatz lässt sich so beschreiben: Um zu prüfen, ob ein Verhältnis unbegrenzt wachsen kann, untersucht man zuerst sein Verhalten in Extremfällen.
Komplexe Zahlenwerte zu einfachen Exponenten umwandeln
Wir lassen t gegen 0 gehen und wählen für die drei Koeffizienten folgende Werte:
Dann gilt:
