Es ist schwer zu kommentieren: Der gerade von OpenAI offiziell angekündigte große Durchbruch bei den Navier-Stokes-Gleichungen wurde von Mathematikern auseinandergenommen.

Eine bahnbrechende Nachricht von historischer Bedeutung für die Mathematik wurde von OpenAI zu einer fortlaufenden Serie gemacht.

Gerade erst von Mathematikern beschuldigt, Forschungsergebnisse gestohlen zu haben, veröffentlicht OpenAI eilig eine offizielle Ankündigung:

Ein noch nicht veröffentlichtes internes Modell, dessen Fähigkeiten GPT-6 Astra deutlich übertreffen, hat das Problem der Existenz und Glattheit der Navier-Stokes-Lösungen gelöst.

Dieses Problem gehört zu den sieben Millennium-Problemen, für deren Lösung ein Preis von 1 Million US-Dollar ausgesetzt wurde. Bislang wurde nur das Poincaré-Vermutung erfolgreich abgeschlossen.

Jetzt verkündet OpenAI, dass auch das zweite Problem gelöst wurde.

Chen Lijie gibt an, dass er bei seinem Beitritt zu OpenAI Anfang dieses Jahres noch vorhergesagt habe, dass KI bis 2028 ein Millennium-Problem lösen könnte – er hätte nie gedacht, dass der Fortschritt von der KI so stark beschleunigt würde:

Ein Problem im Mai, zwei weitere im September.

Darüber hinaus hat OpenAI zwischen den Zeilen Hinweise auf das nächste Modell gegeben:

Nicht GPT-6 hat den Beweis tatsächlich abgeschlossen, sondern ein noch im Training befindliches internes Modell von OpenAI, dessen Fähigkeiten weitaus stärker sind als die von Astra, das erst vor wenigen Tagen veröffentlicht wurde.

Astra steht dieses Mal hinten an und ist nur für die Überprüfung der Ergebnisse zuständig. (doge)

Um dieses Problem zu lösen, hat OpenAI direkt rund 10.000 Agenten mobilisiert, die 88 Stunden parallel gearbeitet, 2,7 Millionen Nachrichten gesendet und etwa 130 Milliarden ausgegebene Token verbraucht haben.

Nachdem die Agenten den Beweis verfasst hatten, lief GPT-6 Astra weitere 17 Stunden, um den gesamten Beweis in die Lean-Version zu formalisieren und Schritt für Schritt nach Lücken zu durchsuchen.

Die Zeitschrift *Scientific American* kommentierte sofort:

Dies könnte der wichtigste Tag in der Mathematik seit mindestens 20 Jahren sein.

Mit diesen Worten hat die KI-Mathematik die historische Tür mit einem einzigen Tritt aufgestoßen!

Bevor die Mathematikergemeinde den Applaus aussprechen konnte, begann die Angelegenheit seltsam zu werden …

Gerüchten zufolge hat OpenAI plötzlich gehandelt, weil es gehört hat, dass andere das Problem kurz vor der Lösung stehen haben.

Das Team, dem die Ergebnisse vorenthalten wurden, hat zuvor ständig OpenAI Codex verwendet, und seine unveröffentlichten Entwürfe, Beweise und Zwischenableitungen wurden darin gespeichert.

Anschließend wurde OpenAI auch beschuldigt, einen der Anthropic-Forscher aus der Autorenliste streichen zu wollen.

Äh, das, was wir gerade besprochen haben, ist doch wirklich ein mathematischer Beweis, oder???

10.000 Agenten lösen ein Millennium-Problem in 88 Stunden

Zuerst erklären wir, was OpenAI eigentlich bewiesen hat.

Die Navier-Stokes-Gleichung beschreibt, wie sich Fluide bewegen.

Der Wirbel am Ablauf des Badewassers, die Luftströmung um ein Flugzeug, der Blutfluss in den Gefäßen und sogar die Veränderung von Wettersystemen lassen sich auf sie zurückführen.

Seit fast hundert Jahren können Mathematiker jedoch nicht beweisen:

Wird ein dreidimensionales Fluid, das anfangs glatt und normal ist, unter der Beschreibung der Gleichung für immer glatt bleiben?

Oder kann es in endlicher Zeit plötzlich eine „Singularität“ auftauchen lassen, sodass Werte wie die Geschwindigkeit gegen unendlich streben?

Letzteres wird in der Mathematik üblicherweise als Endliche-Zeit-Explosion bezeichnet.

In der Realität können Fluide natürlich keine unendliche Geschwindigkeit erreichen. Wenn eine solche Singularität tatsächlich auftreten kann, bedeutet das, dass die Navier-Stokes-Gleichung unter bestimmten extremen Bedingungen nicht mehr als Kontinuumsmodell zur Beschreibung von Fluiden dienen kann.

Dieses Problem ist seit 1934 ungelöst geblieben. Im Jahr 2000 nahm das Clay Mathematics Institute es in die sieben Millennium-Probleme auf. Wer beweisen kann, dass das Fluid für immer glatt bleibt, oder ein Gegenbeispiel für eine Explosion findet, erhält 1 Million US-Dollar.

Die Antwort von OpenAI lautet dieses Mal:

Es kann tatsächlich zu einer Explosion kommen.

Es wurde ein glattes Fluid konstruiert, das sich anfangs im Ruhezustand befindet, und auf das eine glatte äußere Kraft ausgeübt wird.

Die Wirbel im Inneren des Fluids ziehen sich ständig zum Zentrum zusammen und strecken sich aus, wie ein Spaghetti, der immer enger gedreht wird; gleichzeitig nimmt die Rotationsgeschwindigkeit stetig zu und strebt schließlich in endlicher Zeit gegen unendlich.

Während des gesamten Prozesses bleibt die Gesamtenergie des Fluids endlich.

OpenAI gibt an, dass dieser Beweis die Fälle C und D der offiziellen Aufgabenstellung des Clay-Instituts abdeckt, sodass das Navier-Stokes-Millennium-Problem damit gelöst ist.

Der Prozess der Suche nach der Lösung ist jedoch sehr aufschlussreich.

Am 1. September hörte OpenAI Gerüchte, dass jemand möglicherweise ein Millennium-Problem gelöst hat.

Gerade zu dem Zeitpunkt trainierte das Unternehmen ein neues internes Modell, das in mathematischen Tests „nie dagewesene“ Fähigkeiten zeigte. Also hat OpenAI alle noch ungelösten Millennium-Probleme an das Modell übergeben, um es auszuprobieren.

Verschiedene Agentengruppen waren für unterschiedliche Versionen des Problems zuständig, konnten zwischengespeicherte Internetdaten abrufen, Code ausführen und ihre Erkenntnisse innerhalb der Gruppe austauschen.

Zuerst verbrachten fast 100 Agenten etwa 50 Stunden, um ein relativ einfaches Problem der Explosion bei der Euler-Gleichung ohne äußere Kraft zu lösen.

Als OpenAI sah, dass dieser Weg erfolgversprechend ist, wurden sofort alle Agenten, die an anderen Problemen arbeiteten, hierher umgeleitet.

Die Agenten probierten verschiedene Methoden aus, während Codex die wirksamen Hinweise aller Gruppen sammelte und die Zwischenergebnisse erneut verteilte. Später wuchs die Beteiligung auf etwa 10.000 Agenten an.

Nach 88 Stunden lag der Beweis vor.

Während des gesamten Prozesses entstanden insgesamt 4,9 Millionen Agentennachrichten und etwa 300 Milliarden ausgegebene Token, wobei allein das Navier-Stokes-Problem 130 Milliarden Token verbraucht hat.

OpenAI teilte außerdem mit, dass dieses Experiment mehrere Millionen US-Dollar gekostet hat.

Ein Problem mit einem Preis von einer Million US-Dollar, gelöst mit Rechenleistung im Wert von mehreren Millionen US-Dollar …

Die gute Nachricht ist, dass das Problem gelöst wurde, die schlechte Nachricht ist, dass der Preis vermutlich nicht einmal die Stromkosten decken wird. (doge)

Natürlich hat OpenAI auch ausdrücklich erklärt, die 1 Million US-Dollar nicht in Anspruch zu nehmen.

Aber an diesem Punkt konnten zwei andere Forscher nicht mehr stillstehen.

Woher hat OpenAI diesen Lösungsweg gelernt?

Der Mathematiker Tristan Buckmaster von der New York University und Levent Alpöge, Forscher bei Anthropic, haben im vergangenen Jahr ständig an der Explosion von Fluidgleichungen gearbeitet.

Sie verfolgten genau den Ansatz, den OpenAI später zur Lösung des Navier-Stokes-Problems verwendet hat:

Durch eine ausreichend glatte äußere Kraft eine Endliche-Zeit-Explosion zu konstruieren.

Dieser Ansatz stammt ursprünglich von den Mathematikern Diego Córdoba und Luis Martínez-Zoroa.

Die beiden haben jahrelang in diese Richtung geforscht, aber die äußere Kraft, die sie bisher erhalten haben, war noch nicht glatt genug – es fehlte noch ein entscheidender Schritt zur vollständigen Lösung des Problems.

Nachdem Buckmaster und Alpöge die Arbeit übernommen hatten, nutzten sie Modelle wie Claude und Codex, um die Forschung voranzubringen.

Am 15. August erzielten die beiden einen Durchbruch: Sie bewiesen, dass die dreidimensionale inkompressible Euler-Gleichung, die Boussinesq-Gleichung und die inkompressible Gleichung des porösen Mediums unter der Wirkung einer glatten äußeren Kraft alle eine Endliche-Zeit-Explosion erleiden können.

Am 22. August wurden die Ergebnisse der Euler-Gleichung durch Lean überprüft.

Terence Tao gab nach der Lektüre eine sehr positive Bewertung ab:

„Eine bemerkenswerte Leistung.“

Terence Tao kam zu dem weiteren Schluss, dass es derzeit keine grundlegenden Hindernisse gibt, um von dieser Methode zur Navier-Stokes-Gleichung mit Viskosität weiterzuentwickeln.

Übersetzt bedeutet das:

Obwohl Buckmaster und Alpöge das Navier-Stokes-Problem noch nicht offiziell gelöst haben, ist der Weg fast bis zur Ziellinie vorgezeichnet.

Die beiden planten, noch einige Wochen zu investieren, um den Beweis gründlich zu ordnen und dann zu veröffentlichen – vor allem die ursprüngliche Version, die von der KI erstellt wurde, ist kaum lesbar …

Selbst nach der Überarbeitung kann die veröffentlichte Version nur als „KI-Müll“ bezeichnet werden.

Daher war ihr damaliger Plan, die Ergebnisse ein paar Tage später zu veröffentlichen, aber das Papier zumindest so zu gestalten, dass es wie von einem Menschen geschrieben aussieht.

Im Silicon Valley hält man sich offensichtlich nicht an diesen Rhythmus – sie bekamen keine Gelegenheit, das Manuskript langsam zu überarbeiten.

Anfang September verbreitete sich die Nachricht, dass „Anthropic ein wichtiges mathematisches Problem gelöst hat“.

Am 1. September erfuhr OpenAI davon und startete das Agenten-Projekt.

Am 3. September kontaktierte Buckmaster OpenAI selbst, erklärte, dass sie das Navier-Stokes-Problem noch nicht gelöst hätten, und teilte mit, dass die Ergebnisse bald veröffentlicht werden.

Am 5. September schlossen die 10.000 Agenten von OpenAI den Beweis ab.

Das bedeutet: Während die Mathematiker noch die KI-Entwürfe überarbeiteten, hat OpenAI 10.000 Agenten und Rechenleistung im Wert von mehreren Millionen US-Dollar eingesetzt und ist mit Vollgas über die Ziellinie gefahren.

Dann tauchte das Problem auf.

Buckmaster und Alpöge haben während ihrer Forschung ständig Codex verwendet und die Entwürfe ihrer Papiere sowie eine große Anzahl von Ableitungen in der Sitzung gespeichert.

Als das Ergebnis von OpenAI genau dem selten verfolgten Ansatz der „glatten äußeren Kraft“ folgte, wurde Buckmaster sofort aufmerksam und fragte OpenAI:

Hat das interne Modell auf ihre Codex-Sitzungen zugegriffen oder wurden diese Daten für das Training verwendet?

Laut Buckmaster lautete die Antwort, dass das Modell nicht aktiv auf Benutzerdaten zugegriffen habe; aber als er nach den Trainingsdaten fragte, erhielt er keine klare Antwort.

OpenAI hat öffentlich bestritten, dass Forscher oder Agenten die Arbeit der beiden eingesehen haben, und erklärt, dass sie die spezifischen Inhalte erst nach der Veröffentlichung der Papiere kennengelernt haben.

Gleichzeitig hat OpenAI eine sehr subtile Aussage getroffen:

Obwohl die Wahrscheinlichkeit sehr gering ist, kann nicht ausgeschlossen werden, dass de-identifizierte Daten, die von den beiden