Terence Tao ist schockiert: Eine "Lücke", die ein Mathematiker 1975 gelegt hat, wurde von KI und Internetnutzern aus der ganzen Welt innerhalb von 48 Stunden geschlossen.

Innerhalb von 48 Stunden wurde ein 50 Jahre altes mathematisches Rätsel gelöst! Künstliche Intelligenz (KI) und Mathematiker weltweit haben sich in einem traumhaften Zusammenspiel getroffen. Vom Münzspiel bis zur Quadratpackung wurden die von Erdős hinterlassenen Probleme Schritt für Schritt aufgeklärt. Die Zusammenarbeit zwischen Mensch und Maschine hat einen neuen Paradigmenwechsel in der mathematischen Forschung ausgelöst.

Gerade jetzt hat die KI wieder ein mathematisches Problem gelöst!

Das Problem Erdos#1026 wurde besiegt, und es wurde ein formeller Beweis erbracht.

Bevor dies geschah, hatte dieses Problem die mathematische Welt bereits 50 Jahre lang geplagt.

Terry Tao hat diese Nachricht auf Mastodon bekannt gegeben und in einem Blogbeitrag die Geschichte ausführlich erzählt.

Er betonte, dass das menschliche Team mit Hilfe der KI das Problem in nur 48 Stunden erfolgreich lösen konnte.

Darüber hinaus hat die KI in diesem Prozess ein völlig neues Verständnis gebracht, und es geht nicht nur um eine einfache Suche.

Man muss bedenken, dass es mit traditionellen Methoden, nur durch Programmierkenntnisse und Literaturrecherche der Mathematiker, Wochen oder sogar Monate dauern würde.

In diesem Prozess generiert die KI tatsächlich neue mathematische Erkenntnisse, anstatt nur vorhandene Literatur zu durchsuchen.

Die Website von Harmonic hat ebenfalls diese Nachricht bekannt gegeben. Ihr KI - System Aristotle war an diesem Lösungsprozess beteiligt.

Das Problem Erdos#1026

1975 schrieb der legendäre Mathematiker Paul Erdős in einer Ecke eines Papers ein Problem auf.

Ein halbes Jahrhundert später lag dieses Problem still auf der „Erdős - Problem - Website“ mit der Nummer 1026.

Niemand hätte gedacht, dass es im letzten Monat des Jahres 2025 von einer Gruppe von Mathematikern mit Hilfe von KI - Tools in nur 48 Stunden vollständig gelöst würde.

Erdős' ursprüngliches Problem klingt wie ein Rätsel.

Gegeben sei eine Folge verschiedener reeller Zahlen x1, x2, …, xn. Definiere S(x1, …, xn) als die maximale mögliche Summe aller monotonen Teilfolgen (aufsteigend oder absteigend).

Welche Eigenschaften hat diese Funktion?

Als das Problem aufgetaucht ist, haben sich alle fragend angeschaut: Was wird hier eigentlich gefragt? Soll der Ausdruck für S gefunden werden? Oder soll die untere Schranke des Verhältnisses zu der Gesamtsumme ermittelt werden?

Am 12. September 2025, als das Problem auf der Website veröffentlicht wurde, war eine Anmerkung hinzugefügt: „Die Problemstellung ist ziemlich unklar.“

Aber die Intuition der Mathematiker besteht darin, das Unklare in das Klare zu verwandeln.

An diesem Tag stellte der Nutzer Desmond Weisenberg eine klare spielerische Erklärung vor:

Das Münzspiel von Alice und Bob

Alice hat N Münzen. Sie teilt sie in n Stapel auf, wobei jeder Stapel xi Münzen enthält (xi kann unterschiedlich sein). Bob kann eine monotone Teilfolge (aufsteigend oder absteigend) auswählen und alle Münzen in diesen Stapeln nehmen.

Frage: Welchen Anteil der Gesamtzahl der Münzen kann Bob mindestens erhalten, unabhängig davon, wie Alice die Münzen aufteilt?

Diesen Anteil bezeichnen wir als c(n).

Von n = 3 bis zur Quadratzahl - Vermutung

Betrachten wir zunächst einige Beispiele.

Stijn Cambie stellte schnell fest:

Wenn Alice die Münzen in k2 Stapel aufteilt, wobei jeder Stapel ungefähr gleich groß ist, und sie in k absteigende Blöcke anordnet, wobei jeder Block k Stapel enthält und die Blöcke aufsteigend zueinander sind, dann besteht die längste monotone Teilfolge nur aus k Stapeln.

Also kann Bob höchstens einen Anteil von 1/k erhalten, d. h. c(k2) ≤ 1/k.

Umgekehrt gab Wouter van Doorn mit bestehenden Ergebnissen eine untere Schranke an: c(n) ≥ (1/√2)/√n.

Was ist dann der Grenzwert von √n · c(n)? Er liegt zwischen 1/√2 und 1.

Am nächsten Tag berechnete Stijn die Werte für kleine n per Hand:

Obwohl die Datenmenge gering war, war es ihm bereits möglich, mutig zu vermuten: c(k2)=1/k.

Dies bedeutet, dass √n · c(n) → 1, und Bob kann bei großen n fast sicher einen Anteil von etwa 1/√n erhalten.

Die KI greift ein!

Zwei Monate später, am 7. Dezember 2025, bewies Boris Alexeev mit dem KI - Tool Aristotle automatisch in der Beweis - Hilfssprache Lean, dass c(k2)=1/k.

Fast gleichzeitig gab Koishi Chan einen eleganten menschlichen Beweis – die „Expansionsmethode“.

Jetzt waren die obere und die untere Schranke identisch, und die Vermutung war erfolgreich bewiesen.

Was noch interessanter ist, war diese Lösung bereits vorhanden.

Google Scholar fand schnell ein Paper aus dem Jahr 2016, in dem bereits dieses Ergebnis enthalten war, und es zitierte die frühere Arbeit von Wagner, die die Erdős - Szekeres - Theorem mit der „Expansionsmethode“ behandelte.

Es stellte sich heraus, dass die Mathematik dieses Problem bereits gelöst hatte, es war nur nicht mit Erdős' ursprünglicher Frage verknüpft.

Die KI tritt auf und erratet die vollständige Formel

Aber das Highlight der Geschichte kommt noch.

Terry Tao beschloss, ein weiteres KI - Tool, das AlphaEvolve - System, zur Exploration von c(n) zu verwenden.

Er ließ die KI versuchen, Folgen zu konstruieren, für die S so klein wie möglich ist, und erhielt schnell die numerischen Ergebnisse für n = 1 bis 16:

Diese Brüche scheinen chaotisch zu sein, aber nach einer Neuordnung taucht allmählich ein Muster auf.

Boris gewann daraus eine saubere Formel:

Und er konstruierte eine Extremalfolge: Durch abwechselnde Anordnung von Blöcken mit zwei Werten („rot“ und „blau“) wird die Länge der monotonen Teilfolgen kontrolliert.

Die folgende Abbildung zeigt diese Konstruktion (im Fall a ≥ 0) anschaulich:

Und das Diagramm von 1/c(n) ist eine stückweise lineare Annäherung an √n:

Verbindung zum klassischen Quadratpackungsproblem

Anschließend wies Lawrence Wu darauf hin, dass dieses Problem äquivalent zu einem Quadratpackungsproblem (Erdős - Problem 106) ist.

Lawrence bewies: c(n) ≥ 1/f(n).

Grund: Für jede beliebige Folge kann man eine Reihe von Quadraten konstruieren, die ohne Überlappung einen großen Quadrat mit der Seitenlänge S(x1, …, xn) ausfüllen.

Die folgende Abbildung zeigt die Quadratpackung, die aus einer von AlphaEvolve gegebenen Folge konstruiert wurde.