Eilmeldung: Claude scheitert bei der Herausforderung der Riemann-Hypothese und bricht dabei unerwartet einen 37-jährigen mathematischen Rekord.

Die KI hat eine neue schwierige mathematische Herausforderung angenommen, diesmal handelt es sich um die Riemann-Hypothese.

Die 1859 aufgestellte mathematische Vermutung ist seit 167 Jahren ungelöst und ist mit einem Preisgeld von 1 Million US-Dollar dotiert. Kürzlich gab eine Person bei Anthropic der noch nicht veröffentlichten Forschungsversion von Claude eine fast unzumutbare Aufgabe:

Versuche ernsthaft, die Riemann-Hypothese zu lösen.

Jarred Sumner, Mitbegründer von Bun, der im vergangenen Dezember zu Anthropic gestoßen ist

Claude hat den Auftrag tatsächlich ernsthaft ausgeführt. Es hat nacheinander 650 Ideen vorgeschlagen, die alle fehlschlugen. Anschließend organisierte es etwa 60 Claude-Sub-Agenten neu, die eineinhalb Tage lang ununterbrochen arbeiteten, 2400 Shell-Befehle ausführten, Hunderte von Python-Skripten schrieben und Tausende von numerischen Prüfungen durchführten. Am Ende wurde die Riemann-Hypothese dennoch nicht gelöst.

Aber bei diesem fehlgeschlagenen Versuch erzielte Claude ein anderes Ergebnis. Anthropic gab bekannt, dass diese noch nicht veröffentlichte Forschungsversion von Claude die untere Schranke des bekannten Anteils der Nullstellen der Riemann-Zeta-Funktion, die sich nachweislich auf der kritischen Linie befinden, von 41,6 % auf 67,2 % angehoben hat.

Mit anderen Worten: Bisher konnte die Menschheit beweisen, dass mindestens 41,6 % der relevanten Nullstellen die von der Riemann-Hypothese vorhergesagte Position einnehmen; das von Claude vorgelegte Ergebnis hat diesen nachweisbaren Anteil auf 67,2 % vorangetrieben.

Deedy, Partner und Forscher bei der Venture Capital-Gesellschaft Menlo Ventures, erklärte: „Das Ergebnis von Claude ist absolut unglaublich und stellt wahrscheinlich den bedeutendsten Fortschritt im Bereich der analytischen Zahlentheorie seit dem Durchbruch bei den beschränkten Primzahlabständen im Jahr 2013 dar. Es hat den Anteil der Nullstellen der Riemann-Zeta-Funktion, die streng nachweisbar auf der kritischen Linie liegen, auf einen Schlag um 25,6 Prozentpunkte angehoben. In den 37 Jahren davor haben Mathematiker diese Zahl insgesamt nur um 0,8 Prozentpunkte erhöht.“

Anschließend untersuchten und verifizierten zwei Mathematiker von Anthropic die Arbeit von Claude, und Claude lieferte zudem den entsprechenden formalen Beweis in Lean. Die Zahlentheoretiker Brian Conrey und Dan Goldston prüften die Arbeit ebenfalls in kurzer Zeit.

Anthropic betonte, dass diese Methode voraussichtlich nicht direkt zum endgültigen Beweis der Riemann-Hypothese führen kann. Dennoch liefert dieses Ergebnis ein bemerkenswertes Signal: Die mathematischen Fähigkeiten modernster Modelle beginnen, echte Forschungsprobleme zu berühren, für die es keine fertigen Antworten gibt.

Die seit 167 Jahren ungelöste Riemann-Hypothese

Die Bedeutung der Riemann-Hypothese hängt mit Primzahlen zusammen. Es besteht ein tiefer Zusammenhang zwischen der Riemann-Zeta-Funktion und der Verteilung von Primzahlen. Im Jahr 1859 stellte der deutsche Mathematiker Bernhard Riemann die Vermutung auf: Der Realteil aller „nichttrivialen Nullstellen“ der Zeta-Funktion muss gleich 1/2 sein.

In der komplexen Ebene bedeutet dies, dass alle diese Nullstellen auf einer senkrechten Linie liegen, der bekannten kritischen Linie.

Dieses scheinbar abstrakte Problem hat sehr breite Auswirkungen. Zahlreiche mathematische Aussagen über die Verteilung von Primzahlen können unter der Annahme der Gültigkeit der Riemann-Hypothese präzisere Ergebnisse liefern. Daher gehört sie zu den sieben „Millennium-Problemen“ des Clay Mathematics Institute, und der vollständige Beweis oder die Widerlegung der Hypothese ist mit einem Preisgeld von 1 Million US-Dollar verbunden.

In den vergangenen mehr als 100 Jahren konnte niemand beweisen, dass alle nichttrivialen Nullstellen auf der kritischen Linie liegen, aber Mathematiker können nachweisen, dass ein bestimmter Teil von ihnen dort liegt.

Daraus ergab sich ein relativ realistisches Problem: Wie groß ist der Anteil der Nullstellen, von dem wir mindestens beweisen können, dass er auf der kritischen Linie liegt? Nach jahrzehntelangen Fortschritten stieg die bekannte untere Schranke dieses Anteils allmählich auf etwa 41,6 %.

Genau diesen Wert hat Claude nun vorangetrieben.

Von 41,6 % auf 67,2 %

Die Grundlagen, auf denen Claude das Ergebnis erzielt hat, sind nicht aus dem Nichts entstanden.

Im Jahr 1973 führte der Mathematiker Hugh Montgomery bei der Untersuchung der Verteilung der Nullstellen der Zeta-Funktion eine Reihe wichtiger Methoden ein. Ein Teil der Analyse setzte jedoch voraus, dass die Riemann-Hypothese gültig ist. In den vergangenen Jahren haben Mathematiker durch eine Reihe von Arbeiten die entsprechenden Techniken weiterentwickelt, sodass einige dieser Methoden ohne die vorherige Annahme der Gültigkeit der Riemann-Hypothese angewendet werden können.

Das bedeutet, dass diese Methoden umgekehrt dazu beitragen können, zu untersuchen, wie viele Nullstellen tatsächlich auf der kritischen Linie liegen. Auf der Grundlage dieser Arbeiten kombinierte Claude zudem die entsprechenden Untersuchungen, die Enrico Bombieri um das Jahr 2000 veröffentlicht hat, und fand eine neue Kombinationsweise.

Das Endergebnis lautet: Mindestens 67,2 % der relevanten Nullstellen liegen auf der kritischen Linie. Gegenüber der früheren bekannten unteren Schranke von 41,6 % entspricht dies einer Erhöhung um 25,6 Prozentpunkte.

Aus technischer Sicht konstruierte Claude einen geeigneten Funktionsraum und nutzte die durch Weil induzierte quadratische Form, um die Nullstellen auf der kritischen Linie und die von der kritischen Linie abweichenden Nullstellen jeweils den positiv definiten und negativ definiten Richtungen zuzuordnen. Anschließend stellte es Ungleichungen unter Verwendung des Zusammenhangs zwischen dem Rang der quadratischen Form und den Informationen über die Momente erster und zweiter Ordnung auf.

Die Mathematiker von Anthropic sind der Ansicht, dass einer der Schlüsselpunkte darin liegt, dass Claude die positiv definiten und negativ definiten Teile nicht getrennt behandelt, sondern den gesamten Raum im selben Rahmen analysiert und gleichzeitig eine nicht-diagonale Struktur der quadratischen Form zulässt. In Kombination mit den bereits von früheren Zahlentheoretikern erzielten Ergebnissen führte dieser Schritt schließlich zu der unteren Schranke von 67,2 %.

An dieser Stelle ist besonders zu betonen: Anthropic behauptet derzeit nicht, dass diese Technologie sich kontinuierlich bis auf 100 % vorantreiben lässt, und schon gar nicht, dass Claude nur noch 32,8 % vom Beweis der Riemann-Hypothese entfernt ist.

Die Verbesserung der unteren Schranke auf 67,2 % bei einem verwandten Problem weist noch immer einen großen theoretischen Abstand zum vollständigen Beweis der Riemann-Hypothese auf.

31 Millionen Ausgabe-Token, 60 Sub-Agenten –

Wie hat Claude das Ergebnis gefunden?

Auch die Art und Weise, wie Claude das Problem gelöst hat, ist bei diesem Experiment bemerkenswert. Das gesamte Ergebnis wurde in zwei Runden von Claude Code-Sitzungen erzielt, wobei insgesamt etwa 31 Millionen Ausgabe-Token verbraucht wurden.

Anfangs war die Anforderung, die Jarred Sumner an Claude stellte, sehr offen: Versuche ernsthaft, die Riemann-Hypothese zu lösen.

Sumner selbst ist kein Mathematiker und hat Claude keine spezifische mathematische Vorgehensweise vorgegeben.

In der ersten Runde generierte und testete Claude etwa 650 Ideen, die alle fehlschlugen.

Anschließend forderte Sumner es auf, weiterzumachen. Die zweite Runde dauerte etwa eineinhalb Tage.

Claude organisierte etwa 60 Sub-Agenten und zerlegte das Problem in mehrere Richtungen, die parallel erforscht wurden. Diese Agenten führten insgesamt etwa 2400 Shell-Befehle aus, schrieben Hunderte von Python-Skripten und führten Tausende von numerischen Prüfungen an den bekannten Nullstellen der Zeta-Funktion durch.

Verschiedene Sub-Agenten prüften zudem die Ergebnisse der anderen gegenseitig.

Nach Angaben von Anthropic gab Sumner in dieser Phase kaum mathematische Anweisungen. Seine Hauptaufgabe bestand darin, Claude ständig zu sagen „mach weiter“, „versuche es nochmal“ und „vertraue dir selbst“. Anthropic erwähnte sogar, dass Claude anfangs sehr skeptisch war, ob es bei einem so berühmten offenen Problem echte Fortschritte erzielen könnte. Erst nach fortgesetzter Erforschung tauchte diese neue untere Schranke allmählich auf.

Nachdem das Ergebnis gefunden wurde, startete Claude eine weitere Runde der Selbstverifizierung. Einige Sub-Agenten waren speziell damit beauftragt, den Beweis zu prüfen, andere suchten nach Gegenbeispielen; Claude lud zudem 54 Arbeiten von arXiv herunter, um zu überprüfen, ob ähnliche Ergebnisse bereits von anderen Mathematikern erzielt worden waren.

Anschließend ließ es einen unabhängigen Agenten das Ergebnis von Grund auf neu herleiten. Nachdem keine offensichtlichen Probleme festgestellt wurden, schlug Claude selbst vor, das Ergebnis zu einer Arbeit zusammenzufassen, und wies ausdrücklich darauf hin, dass ein echter Zahlentheorie-Experte zur manuellen Verifizierung hinzugezogen werden sollte.

Anschließend begannen die hausinternen Mathematiker von Anthropic, Levent Alpöge und Ralph Furman, die Arbeit zu prüfen und ihren Zusammenhang mit der vorhandenen Fachliteratur zu analysieren. Gleichzeitig arbeitete Claude mit dem Anthropic-Mitarbeiter Eric Easley zusammen, um die zentralen Ergebnisse zu einem formalen Beweis in Lean zu formalisieren. Dieses formalisierte Ergebnis hat die Prüfung durch das Standard-Verifikationstool von Lean, Comparator, bestanden.

Anthropic lud zudem die Mathematiker Brian Conrey und Dan Goldston, die sich mit der Riemann-Zeta-Funktion befassen, ein, die Arbeit zu prüfen. Daher lautet die genauere Aussage derzeit: Die hausinternen Mathematiker von Anthropic haben das Ergebnis untersucht und verifiziert und einen maschinell prüfbaren formalen Beweis abgeschlossen, während zwei externe Fachexperten die Arbeit begutachtet haben. Dies ist immer noch eine andere Phase als der Abschluss eines traditionellen akademischen Peer-Reviews und die Bildung eines Konsens in der Mathematikergemeinschaft.

Weitere Links:

Claude-Arbeit: https://www-cdn.anthropic.com/564f962e60643842f5fcb4a17c9dbc8f608f1c37.pdf

Projektseite von Claude: https://github.com/anthropics/zeta-23-lean

Referenzlinks:

https://x.com/AnthropicAI/status/2086867246073401655

https://www.anthropic.com/research/riemann-zeta

https://x.com/jarredsumner/status/2086869681785500011

Dieser Artikel stammt aus dem WeChat-Offiziellen Konto „Machine Heart“, Autor: Machine Heart, das sich für Mathematik in der KI interessiert, veröffentlicht mit Genehmigung von 36Kr.