Ohne Internetverbindung gelöst: Claude Mythos widerlegt 80 Jahre alten Erdős-Vermutungen, kürzer und schöner als OpenAI

【Einführung】OpenAI hat mit 125 Seiten an Gedankenkettenschritten die Tür zu einer 80 Jahre alten Vermutung von Erdős aufgebrochen. Mythos hat nun einen kürzeren und eleganteren Weg gefunden. Am skurrilsten ist, dass es auf die erste funktionierende Lösung gestoßen ist und dann aufgehört hat – auch KI kann angesichts eines weltbekannten offenen Problems nervös werden.

Die Geschwindigkeit, mit der KI Mathematik löst, ist völlig "kontrolliertlos" geworden!

OpenAI hat erst kürzlich eine 80 Jahre alte mathematische Vermutung zerstört, und Anthropic hat daraufhin einen Beweis vorgelegt. In derselben Woche hat DeepMind außerdem auf einmal neun ähnliche Probleme gelöst.

Gerade jetzt hat der Anthropic-Forscher Levent Alpoge auf 𝕏 zehn Tweets gepostet:

OpenAI hat 125 Seiten gebraucht, um das Problem zu lösen. Er hat am Wochenende Mythos einfach mal ausprobiert.

Nicht nur, dass es in wenigen Minuten erledigt war, sondern der Weg war auch kürzer und einfacher!

Abgetrennt vom Netz, Mythos wird getestet

Dieser Levent Alpoge hat eine beeindruckende Biografie.

Er wurde 1992 geboren, absolvierte sein Bachelorstudium an der Harvard University mit Durchschnittspunkt 4.0, absolvierte das Part III an der Universität Cambridge und promovierte an der Princeton University (sein Doktorvater war der Fields-Medaille-Träger Manjul Bhargava). 2015 gewann er den Morgan-Preis (der höchste Preis für mathematische Forschung von US-amerikanischen Studenten), war Junior Fellow an der Harvard University und löste die Verallgemeinerung des zehnten Hilbert-Problems für alle Zahlkörper.

Als 2023 GPT - 4 veröffentlicht wurde, war er sofort fasziniert.

Für mich ist es augenblicklich das interessanteste Ding geworden, das die Menschheit je geschaffen hat. Zurück zur Informatik!

Daraufhin trat er der Firma Anthropic bei.

Nachdem OpenAI in dieser Woche das Erdős-Problem gelöst hatte, hat Levent das "offensichtliche" getan – er ließ Mythos auch mal probieren.

Um Fairness zu gewährleisten, waren die Testbedingungen streng.

Mehrere Claude Code-Instanzen arbeiteten unabhängig voneinander und waren während des gesamten Tests vom Netz getrennt, um die Möglichkeit auszuschließen, von OpenAIs öffentlicher Lösung "abzukopieren".

Das Modell hat mehr als einmal eine Lösung ähnlich der von OpenAI gefunden, bevorzugte aber einen völlig anderen, aber viel einfacheren Weg.

Interessanterweise hat das Modell, obwohl es bereits einen Ansatz gefunden hatte, der die Vermutung widerlegen konnte, bei der ersten funktionierenden Lösung aufgehört.

Es hätte nur einen Schritt weiter gehen müssen, um ein stärkeres Ergebnis zu erzielen. Aber Mythos war zu nervös!

Angesichts dieses weltbekannten offenen Problems konnte es seinen Ergebnissen nicht trauen und blieb konservativ bei der ersten funktionierenden Lösung stehen.

Als Levent das sah, lachte er einfach: "Dieses Gefühl verstehen alle Mathematiker!"

Derzeit hat Opus 4.7 die Vollständigkeit des Beweises formatiert:

https://www-cdn.anthropic.com/files/4zrzovbb/website/ca35f196125c899a5ad11f011080202a652aef02.pdf

Ein 80 Jahre altes unbesiegtes Wetten

Gehen wir zurück in das Jahr 1946.

Der ungarische Mathematiker Paul Erdős stellte eine scheinbar sehr einfache Frage: Wenn man n Punkte in der Ebene verteilt, wie viele Paare von Punkten können maximal einen Abstand von genau 1 haben?

Nehmen wir als Beispiel 100 Münzen auf einem Tisch. Wenn der Abstand zwischen den Mittelpunkten zweier Münzen genau einem Münzendurchmesser entspricht, zählen sie als ein "Einheitsabstands"-Paar. Wie viele solcher Paare können maximal aus 100 Münzen gebildet werden?

Erdős selbst gab eine Antwort: Wenn man die Punkte in einem Gitter anordnet und es geeignet skaliert, ist die Anzahl der Einheitsabstands-Paare ungefähr n^(1 + c/log log n).

Das heißt, aus 100 Münzen können ungefähr etwas mehr als 100 Paare gebildet werden.

Dann setzte er eine Wette ab, dass dies die Grenze sei und niemand es besser machen könne.

Seine Zuversicht gründete sich auf einen Schlüsselhintergrund – die Gaußschen Zahlen Z[i].

Erdős' Gitterstruktur basiert auf diesem Zahlensystem, und wie viele Möglichkeiten es gibt, eine feste Norm in Z[i] zu zerlegen, hängt von der Teilerfunktion ab, deren Obergrenze ungefähr exp(O(log n / log log n)) ist.

Dies ist die "etwas mehr" -Grenze.

Seit 80 Jahren drehen sich alle in diesem Rahmen herum.

Schwere Kanonen der Zahlentheorie, die Geometrie überwältigen

Für menschliche Mathematiker ist die traditionelle Intuition, dass die Lösung in den Gaußschen Zahlen Z[i] zu finden sei.

Mythos kennt diese Tradition nicht und hat von Anfang an Z[i] durch den Ring der ganzen Zahlen O_K eines Zahlkörpers K ersetzt, dessen Grad viel größer als 2 ist.

Es klingt wie "mit Kanonen auf Spatzen schießen", aber genau diese interdisziplinäre Gewalt hat die 80 Jahre alte Pattsituation gebrochen.

Die Methode besteht darin, zunächst mit dem Golod - Shafarevich - Kriterium einen unendlich hohen "Zahlkörperturm" K₀ ⊂ K₁ ⊂ K₂ ⊂ … auf einem quadratischen Zahlkörper aufzubauen.

Dann wird für jede Ebene K_n eine vierte Wurzelerweiterung F_n = K_n(D^{1/4}) mit Grad d_n genommen.

Der Grund, warum dieser Turm funktioniert, liegt in einer Schlüssel - Eigenschaft:

Unabhängig davon, wie hoch der Turm gebaut wird, bleibt die "Komplexitätsdichte" des Zahlkörpers begrenzt und die Struktur kontrollierbar. Sobald die Parameter groß genug sind, kann die geometrische Zählung beginnen.

Jetzt kommt der Kern des gesamten Beweises.

In Erdős' Z[i] hat die Einheitengruppe nur vier Elemente: {±1, ±i}. Die Anzahl der "Einheitsabstandsrichtungen", in die man sich erstrecken kann, ist also begrenzt und wird direkt von der Teilerfunktion festgelegt.

Aber in höherdimensionalen Zahlkörpern wächst der Rang der Einheitengruppe mit der Dimension, und der Satz von van der Corput wandelt diesen Rang direkt in die Anzahl von Richtungen um.

Somit wächst die Anzahl der Richtungen von 4 auf eine exponentiell mit der Dimension wachsende Anzahl.

Es ist nicht wichtig, wenn Sie diesen Teil nicht verstehen. Merken Sie sich einfach:

Erdős war in einem Raum gefangen, der nur vier Ausgänge hatte. Mythos hat die Wände abgerissen.

Jetzt kommt die konkrete Konstruktion.

Zunächst wählt man eine reelle Einbettung, um diese Zahlen in die Ebene zu projizieren und erhält so die Punktmenge P.

Dann wird ein Einheitsvektor gewählt, um diese Punkte zu verschieben. Der Abstand zwischen den alten und neuen Punkten ist dann genau 1.

Da die Anzahl der Richtungen extrem schnell wächst, ist die Anzahl der Paare von Punkten, die die Bedingung erfüllen, weit höher als Erdős' Obergrenze.

Durch die Multiplikation beider Werte erhält man einen polynomiellen Gewinn.

Intuitiver ausgedrückt:

Die Anzahl der Einheitsabstandsrichtungen wächst wie exp(Ω(d log log d)), während alle anderen Verluste in der Größenordnung exp(O(d)) liegen. d log log d übertrifft d.

Erdős' Vermutung wurde somit widerlegt.

Der gesamte Beweis hat keine analytische Komplexität. Im Vergleich zu OpenAIs 125 - seitigem Weg ist er viel einfacher.

Mit Levents eigenen Worten:

Im Großen und Ganzen ist dies im Wesentlichen Erdős' ursprüngliche Konstruktion plus ein Klassenkörperturm.

Hier wird einfach das dämlichste Ding getan – man fügt Punkte, deren Größe nicht größer als der halbe Radius ist, zu Einheiten hinzu, deren Größe ebenfalls nicht größer als der halbe Radius ist.

Und es funktioniert, weil die geometrische Zählung im Klassenkörperturm so schnell wächst.

Drei Siege in einer Woche, jeweils eigene Siege

Die Zeitlinie der letzten Woche war unglaublich informationsreich.

Am 20. Mai kündigte OpenAI an, dass ein nicht benanntes allgemeines Inferenz - Modell die Erdős - Einheitsabstands - Vermutung selbstständig widerlegt