Die Lösung für das Problem, das die Menschheit vergessen hat, wurde von GPT-5 erneut gefunden.

Die Lösung eines von der Menschheit vergessenen Problems wurde von GPT-5 Pro wiederentdeckt!

Dieser Fall betrifft das Erdős-Problem #339, eines von fast tausend Problemen, die der berühmte Mathematiker Paul Erdős gestellt oder weitergeleitet hat. Es ist auf der Website erdosproblems.com aufgeführt. Auf dieser Website wird der aktuelle Status jedes Problems festgehalten. Etwa ein Drittel der Probleme ist bereits gelöst, der Großteil ist noch ungelöst.

Zuvor war dieses Problem als "ungelöst" markiert und gehörte zu den noch zu bewältigenden mathematischen Herausforderungen. Viele Menschen forschten und diskutierten weiterhin darüber.

Es war erst kürzlich, dass jemand mit GPT-5 Pro suchte und feststellte, dass das Problem tatsächlich bereits 2003 gelöst wurde.

Besonders bemerkenswert ist, dass GPT-5 Pro allein anhand eines Bildes des Erdős-Problems #339 direkt auf die entscheidende Literatur stieß.

Nachdem der OpenAI-Forscher Sebastien Bubeck diese Geschichte teilt, erregte sie sofort das Interesse vieler Internetnutzer.

Übrigens ist eine der berühmten Leistungen von Terence Tao, dass er mit dem Werkzeug der "ergodischen Theorie" einen Durchbruch bei der "Erdős-Differenz-Problematik" erzielt hat, einer Vermutung, die die Mathematikwelt seit Jahrzehnten beschäftigt.

Problemdetails

Genauer betrachtet ist das Erdős-Problem #339 ein klassisches Problem in der Richtung der additiven Basen in der Zahlentheorie. Es lautet wie folgt:

Sei A ⊆ N eine Basis der Ordnung r (d. h. jeder hinreichend große ganze Zahl kann als Summe von r Elementen aus A geschrieben werden). Hat dann die Menge der ganzen Zahlen, die sich als Summe von genau r verschiedenen Elementen aus A darstellen lassen, notwendigerweise eine positive untere Dichte?

Darüber hinaus stellten Erdős und Graham ein verwandtes Problem: Wenn die Menge der ganzen Zahlen, die sich als Summe von r Elementen aus A darstellen lassen, eine positive obere Dichte hat, hat dann auch die Menge der ganzen Zahlen, die sich als Summe von genau r verschiedenen Elementen aus A darstellen lassen, notwendigerweise eine positive obere Dichte?

Bevor GPT-5 Pro feststellte, dass das Problem bereits gelöst war, führten Internetnutzer auf der Website eine Reihe von Diskussionen darüber.

Der Internetnutzer Adenwalla nahm Bezug auf das berühmte Waring-Problem und wies darauf hin, dass fast alle ganzen Zahlen als Summe von höchstens 15 vierten Potenzen geschrieben werden können, aber dennoch unendlich viele ganze Zahlen 16 vierte Potenzen benötigen, d. h. G(4) = 16, aber G₁(4) = 15.

Daraus ergab sich die Frage, ob dies bedeutet, dass die Schlussfolgerung über die untere Dichte im Problem der additiven Basen möglicherweise nicht gilt?

Es wurde schnell von Woett, BorisAlexeev und anderen darauf hingewiesen, dass das Beispiel im Waring-Problem den Fall "mit wiederholten Elementen" betrifft, während das Erdős-Problem #339 "verschiedene Elemente" verlangt. Daher kann dieses Beispiel kein Gegenbeispiel sein, da die Bedingungen des ursprünglichen Problems strenger sind.

Anschließend ging die Diskussion weiter.

Zach Hunter versuchte, die Dichtestabilität von additiven Basen bei verschiedenen Größenordnungen zu untersuchen, während Woett einige konkrete Mengenkonstruktionen vorschlug, um diese als mögliche Gegenbeispiele für die Vermutung zu testen. Beide Parteien diskutierten Konzepte wie "verschiedene Elemente (distinct)", "untere Dichte (lower density)" und "beschränkte Verdopplung (bounded doubling)".

Schließlich stellten sie fest, dass diese Konstruktionen zwar Beispiele mit spärlichen oder sogar exponentiellen Lücken in der Größe der Summenmengen erzeugen konnten, aber dennoch nicht dazu führten, dass die untere Dichte der Menge der ganzen Zahlen, die sich als Summe von genau r verschiedenen Elementen darstellen lassen, tatsächlich gegen Null ging. Das heißt, diese Gegenbeispielkonstruktionen konnten die Vermutung nicht widerlegen.

Während die Internetnutzer unterschiedliche Meinungen hatten und immer noch über die Gültigkeit des Problems streiteten.

Der Internetnutzer msawhney erinnerte die Leute daran, dass dieses Problem bereits 2003 gelöst war.

Der Kernbeweis ist die von Hegyvari, Hennecart und Plagne in der Zeitschrift "J. reine angew. Math." (d. h. "Crelle"), Band 560, Seiten 199 - 220 veröffentlichte Arbeit "A proof of two Erdos’ conjectures on restricted addition and further results".

Das Theorem 4 in dieser Arbeit liefert direkt die Lösung für das Problem.

Und es war GPT-5 Pro, das diese Lösung fand. Es lokalisierte diese Literatur genau nur anhand eines Screenshots des Problems.

Über Paul Erdős

Paul Erdős war einer der bedeutendsten und produktivsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts. Er war bekannt für seine großen Beiträge in den Bereichen Zahlentheorie, Kombinatorik, Graphentheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie.

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Er veröffentlichte in seinem Leben fast 1.500 Artikel und arbeitete mit über 500 Mitarbeitern zusammen. Sein Geist der breiten Zusammenarbeit führte in der Mathematikwelt zur Entstehung des Konzepts der Erdős-Zahl (Erdős number). Diese Zahl ist ein "Ehrenindikator", um das wissenschaftliche Verhältnis eines Mathematikers zu Erdős zu messen.

Er wurde 1913 in Budapest, Ungarn, geboren. Mit 4 Jahren konnte er bereits mehrstellige Multiplikationen im Kopf rechnen. Mit 10 Jahren hatte er sich den gesamten Gymnasialmathematikunterricht selbst beigebracht und begann mit der Untersuchung der Zahlentheorie.

1934, im Alter von 21 Jahren, erhielt Erdős seinen Doktortitel von der Universität Budapest. Anschließend begann er aufgrund des Krieges und anderer Umstände seine "Wanderjahre" -

Er hatte keine feste Anstellung und lebte von Vortragsgebühren, Preisen und Unterstützung seiner Freunde. Er trug ständig einen Koffer bei sich und reiste von Universität zu Universität und von Mathematiker zu Mathematiker auf der ganzen Welt, arbeitete mit Kollegen zusammen und diskutierte Probleme. Im Durchschnitt wechselte er alle paar Wochen seinen Aufenthaltsort.

Erdős war sein ganzes Leben lang für seine "problemgetriebene" Forschungsweise bekannt. Er strebte keine systematisierte Theorie an, sondern stellte und löste ständig interessante Probleme. Hunderte seiner Vermutungen sind bis heute an der Spitze der Mathematikforschung.

Die Zahlentheorie war das Gebiet, in dem Erdős am intensivsten arbeitete und am meisten Errungenschaften erzielte. Seine Arbeit trug direkt zur Entwicklung der Zahlentheorie im 20. Jahrhundert bei, insbesondere in den Richtungen der Primzahlverteilung und der additiven Zahlentheorie. Beispielsweise bewiesen er und der norwegische Mathematiker Atle Selberg den Primzahlsatz mit elementaren Methoden, was die Mathematikwelt schockierte.

Erdős war auch einer der Begründer der Untersuchung der Ramsey-Zahlen. Er führte die Wahrscheinlichkeitstheorie in die kombinatorische Zahlentheorie ein und gab eine untere Schätzung für die Ramsey-Zahlen an.

Seine berühmte "Erdős-Differenz-Problematik" geht auf die 1930er und 1940er Jahre zurück.

Es geht darum, dass für eine unendliche Folge aus +1 und -1 (z. B. (1, -1, 1, -1, …)) die "Teilsumme der ersten n Glieder" als S(n) definiert wird. Die "Differenz" ist dann der maximale absolute Wert aller Teilsummen.

Erdős vermutete, dass die Differenz jeder solchen Folge mit wachsendem n unendlich wachsen würde (d. h. es gibt keine unendliche ±1-Folge mit "beschränkter Differenz").

Dieses Problem scheint einfach, aber es überspannt die Gebiete der Zahlentheorie, Kombinatorik und harmonischer Analysis und war eine der berühmtesten ungelösten Vermutungen des 20. Jahrhunderts. Erst 2015 erzielte der Mathematiker Terence Tao einen Teil-Durchbruch bei dieser Vermutung, indem er das Werkzeug der "ergodischen Theorie" einführte.

Selbst in den letzten Jahren seines Lebens arbeitete Erdős weiterhin an der Mathematik und schrieb Artikel. 1996 starb er an einem Herzinfarkt, während er an einer wissenschaftlichen Konferenz in Warschau, Polen, teilnahm. Er war 83 Jahre alt.

2024 eröffnete der britische Mathematiker Thomas Bloom eine Website, die sich speziell mit Erdős-Problemen beschäftigt.

Eine weitere Anmerkung

Paata Ivanisvili, Mathematikprofessor an der Universität von Kalifornien, Irvine, schrieb in einem Tweet, dass GPT-5 Pro hervorragend darin ist, schwerwiegende Fehler in veröffentlichten wissenschaftlichen Artikeln zu erkennen.

Vor fünf Jahren habe ich tagelang an diesem Artikel geforscht, um einen Fehler zu entdecken, den die Autoren später bestätigten. GPT-5 Pro hat denselben Fehler in nur 18 Minuten gefunden und zusätzlich noch einige kleinere Probleme entdeckt. Ich habe ähnliche Fälle schon viele Male erlebt.

Dieser Tweet wurde auch von Greg Brockman, dem CEO von OpenAI, weitergeleitet.