Mathematiker aus Peking-Universität und Nankai-Universität lösen das berühmte "Zehn-Martini"-Problem: Ein einheitlicherer und eleganterer Beweis

Ein Problem, das das Schnittgebiet von Mathematik und Quantenmechanik seit einem halben Jahrhundert plagt, hat endlich eine ziemlich perfekte Lösung gefunden, dank der Beteiligung von Mathematikern aus Peking-Universität und Nankai-Universität.

Dieses Problem trägt einen sehr interessanten Namen: „Das Problem der zehn Martinis“ (The Ten Martini Problem).

Es erhielt diesen Namen, weil der Mathematiker Mark Kac 1981 sagte, er würde jedem, der dieses Problem lösen würde, zehn Martinis ausgeben.

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Einfach ausgedrückt, ist das Problem der zehn Martinis eine Vermutung über die Spektralstruktur von Quantensystemen. Sie besagt, dass das Spektrum der fast Mathieu - Operatoren (Almost Mathieu operators) für alle irrationalen Frequenzen eine Cantor - Menge ist.

Hierbei sind die „fast Mathieu - Operatoren“ spezielle Schrödinger - Operatoren mit einem Cosinus - Potential; eine Cantor - Menge ist eine fraktale Struktur (sie sieht aus wie „Staub“, hat keine Intervalle, nur unendlich viele verstreute Punkte).

Obwohl die Mathematiker Avila und Jitomirskaya zwischen 2004 und 2005 schließlich einen vollständigen Beweis lieferten, dass das Spektrum der „fast Mathieu - Operatoren“ tatsächlich eine Cantor - Menge ist (Avila erhielt später auch den Fields - Preis dafür).

Aber als zwei chinesische Mathematiker (Ge Lingrui aus Peking-Universität und You Jiangong aus Nankai-Universität) sich Jitomirskayas Forschung anschlossen, erweiterten sie diese Aussage:

Nicht nur bei den „fast Mathieu - Operatoren“, sondern auch für eine größere Klasse von quasiperiodischen Operatoren (quasiperiodic operators) gilt eine ähnliche Eigenschaft wie das Problem der zehn Martinis, d. h. das Spektrum ist eine Cantor - Menge.

Ihre Arbeit lieferte nicht nur einen bisher nie dagewesenen eleganten und einheitlichen Beweis für dieses klassische Problem, sondern vor allem erweiterten sie die Aussage von einem hochgradig idealisierten Modell auf eine breitere, realitätsnähere physikalische Situation.

Aber um die ganze Geschichte des Problems der zehn Martinis zu verstehen, müssen wir uns zurück auf 1974 begeben.

Eine physikalische Vermutung, die aus einem „Schmetterling auf dem Taschenrechner“ entstand

Die Geschichte beginnt mit einer Person namens Douglas Hofstadter.

Damals war er nur ein Physikstudent, der in der University of Oregon in den USA seinen Doktorgrad machte. In jenem Jahr begleitete er seinen Mentor nach Regensburg in Deutschland für einen akademischen Urlaub und schloss sich einer Forschungsgruppe von Spitzen - theoretischen Physikern an.

(PS: Fünf Jahre später würde er mit dem Buch „Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid“ den Pulitzer - Preis gewinnen und ein weltbekannter Denker werden.)

Das zentrale Thema der Gruppe war ein grundlegendes und kniffliges Quantenproblem:

Wie verteilt sich die Energie eines Elektrons, wenn es in einem regelmäßig angeordneten Kristallgitter bewegt wird und gleichzeitig einem senkrechten Magnetfeld ausgesetzt ist?

Dieses Problem wird in der Physik als „Spektrumsproblem von Bloch - Elektronen im Magnetfeld“ bezeichnet. Die Physiker der Gruppe verwendeten hauptsächlich strenge und abstrakte Theoremschließungen, um das Endresultat direkt theoretisch herzuleiten.

Aber Hofstadter merkte, dass es ihm schwerfiel, den hochgradig mathematischen Gedankenwegen seiner Kollegen zu folgen. Er erinnerte sich:

In gewisser Weise war ich glücklich, dass ich ihnen nicht folgen konnte. Sie beweisen Theoreme, aber diese scheinen mit der Essenz des Problems nichts zu tun zu haben.

Also beschloss Hofstadter, einen anderen Weg zu gehen und eine damals als ziemlich „klobig“ geltende experimentelle Methode anzuwenden: Numerische Berechnung.

Er fand einen HP 9820A Tischrechner, ein Gerät, das fast 40 Pfund wog und dessen Funktionen zwischen einem Taschenrechner und einem frühen Computer lagen.

Sein Plan war, nicht direkt das schwierigste theoretische Problem anzugehen, sondern stattdessen mit vereinfachten Problemen zu beginnen und durch zahlreiche Berechnungen die Lösung „zu sehen“.

Das zentrale Instrument zur Beschreibung dieses physikalischen Systems ist das Fundament der Quantenmechanik: Die Schrödinger - Gleichung.

In diesem speziellen Problem wird die Form des „Spektrums“, d. h. der Menge der erlaubten Energiewerte eines Elektrons, durch einen Schlüsselparameter α bestimmt. Dieser Parameter α ist proportional zum Produkt der Magnetfeldstärke und der Gitter - Flächeneinheit. Er erfasst die wesentliche Wirkung des äußeren Magnetfelds auf die Elektronenbewegung.

Theoretisch hat das System eine Periodizität, wenn α eine rationale Zahl ist. Obwohl die Berechnung umständlich ist, ist es prinzipiell lösbar. Jedoch, wenn α eine irrationale Zahl ist, hat das System keine einfache Periodizität mehr und wird zu einem sogenannten „quasiperiodischen“ System. Die Lösung war damals ein großes theoretisches Hindernis.

Hofstadter stürzte sich nicht wie seine Kollegen in die theoretischen Schwierigkeiten der irrationalen Zahlen. Er begann mit den bekannten Fällen der rationalen Zahlen. Er programmierte den Rechner, um das Spektrum für eine Reihe von rationalen α - Werten automatisch zu berechnen.

Jede Nacht stellte er einen α - Wert ein und ließ den Rechner die ganze Nacht lang arbeiten. Am nächsten Morgen sah er ein langes Papierband aus der Maschine herausragen, auf dem alle erlaubten Energiewerte für diesen α - Wert markiert waren.

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Er zeichnete diese Datenpunkte mühevoll auf einem großen Koordinatenpapier auf. Die horizontale Achse dieser Grafik repräsentiert die Energie des Elektrons, die vertikale Achse den Parameter α. Jeder α - Wert entspricht einer horizontalen Linie auf der Grafik, und die markierten Punkte auf dieser Linie sind die Energieniveaus, auf denen das Elektron bei dieser Magnetfeldstärke existieren kann.

Je dichter die rationalen α - Werte wurden, desto deutlicher wurde ein atemberaubendes Bild sichtbar.

Zwischen den erlaubten Energieniveaus (schwarze Punkte) gab es große „Verbotenzonen“ (weiße Bereiche), und die Form dieser weißen Bereiche sah erstaunlich wie ein geflügelter Schmetterling aus.

Noch faszinierender war, dass dieser „Schmetterling“ deutliche fraktale Merkmale aufwies: Wenn man einen kleinen Teil des Schmetterlingsflügels vergrößerte, würde man feststellen, dass die Musterstruktur diesem Teil sehr ähnlich der des gesamten Schmetterlings war. Diese Selbstähnlichkeit kann unendlich fortsetzen.

Diese Grafik wurde später von der Wissenschaftsgemeinschaft liebevoll als „Hofstadter - Schmetterling“ bezeichnet.

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Seine Kollegen achteteten zunächst wenig auf diese „Mühsalarbeit“. Selbst sein Mentor kritisierte es als „Zahlen - Aberglaube“ und drohte, seine Finanzierung einzustellen. Aber Hofstadter war überzeugt, dass hinter diesem schönen Bild tiefe physikalische und mathematische Wahrheiten verborgen lagen.

Durch die Beobachtung des Bildes stellte er eine erstaunliche Vermutung auf.

Er bemerkte, dass wenn der Nenner q der rationalen Zahl α = p/q größer wurde, d. h. die Brüche komplexer wurden und sich einer irrationalen Zahl näherten, das entsprechende Spektrum in immer mehr Teilbänder aufspaltete und die Lücken dazwischen immer mehr wurden.

Seine Gesamtstruktur näherte sich visuell einem berühmten mathematischen Objekt an, nämlich der bereits erwähnten Cantor - Menge.

Eine Cantor - Menge ist ein klassisches mathematisches Fraktal, das durch einen einfachen iterativen Prozess konstruiert werden kann: Man beginnt mit einem Linienabschnitt, entfernt das mittlere Drittel davon und erhält zwei kürzere Linienabschnitte. Dann entfernt man wiederum das mittlere Drittel von diesen beiden Linienabschnitten. Dieser Vorgang wird unendlich wiederholt.

Am Ende bleiben keine Linienabschnitte mehr übrig, sondern eine unendliche Anzahl von diskreten Punkten, die wie Staub auf dem ursprünglichen Linienabschnitt verteilt sind.

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Daraus schloss Hofstadter, dass wenn der Parameter α eine echte irrationale Zahl ist, das Elektronenspektrum keine kontinuierlichen Bänder mehr sein wird, sondern eine perfekte Cantor - Menge mit einer unendlich feinen Struktur.

Die Belohnung von „zehn Martinis“

Hofstadters Vermutung war wie ein Stein, der in einen ruhigen See geworfen wurde und in der mathematischen und physikalischen Welt Wellen schlug.

Einige Jahre später kamen zwei hervorragende Mathematiker, Mark Kac und Barry Simon, unabhängig voneinander aus rein mathematischer Sicht zu demselben Ergebnis wie Hofstadter, als sie eine Klasse von mathematischen Objekten namens „fastperiodische Funktionen“ studierte.

Dies erhöhte die Glaubwürdigkeit der Vermutung erheblich, aber ein strenger mathematischer Beweis war immer noch weit entfernt. Die Schwierigkeit des Problems weckte jedoch Kacs Sinn für Humor.

Bei der Jahrestagung der American Mathematical Society im Jahr 1981 kündigte er halb im Scherz öffentlich an, dass er jedem, der diese Vermutung streng beweisen könnte, zehn Martinis ausgeben würde.

Simon propagierte diese Belohnung dann auf verschiedenen wissenschaftlichen Veranstaltungen, sodass das „Problem der zehn Martinis“ berühmt wurde und als Maßstab für den Fortschritt in der Forschung über quasiperiodische Systeme galt.

In den folgenden zwei Jahrzehnten stürzten sich Generationen von Mathematikern auf dieses Problem.

Sie entwickelten ständig neue mathematische Werkzeuge und konnten erfolgreich beweisen, dass die Vermutung für „gewisse“ bestimmte Arten von irrationalen Zahlen (z. B. die sogenannten „Liouville - Zahlen“, die gut durch rationale Zahlen approximiert werden können, oder die entgegengesetzt charakterisierten „Diophantischen Zahlen“) gilt.

Jedoch konnte kein allgemeiner Beweis gefunden werden, der alle irrationalen Zahlen abdecken würde.

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Endlich wurde 2005 das Stauklotz gebrochen.

Der Mathematiker Svetlana Jitomirskaya arbeitete mit dem damaligen 24 - jährigen Genie - Mathematiker Artur Avila zusammen und veröffentlichte eine bahnbrechende Arbeit, in der sie ankündigten, dass das „Problem der zehn Martinis“ gelöst sei.

Sie selbst erfüllten freudig das Versprechen der zehn Martinis und tranken zum Sieg an.

Allerdings zeigte sich nach den feierlichen Champagnerblasen, dass dieser Beweis „unvollkommen“ war. Er war eher wie ein „Flickenteppich“ (a patchwork quilt) als ein einheitliches Kunstwerk.

Weil ihr Beweis alle irrationalen Zahlen abdecken musste, beriefen sie sich auf verschiedene, manchmal sogar widersprüchliche technische Methoden: Für die „sanften“ Diophantischen Zahlen verwendeten sie eine analytische Methode, für die „wilderen“ Liouville - Zahlen mussten sie sich auf eine ganz andere algebraische Methode berufen.

Das machte den gesamten Beweisprozess kompliziert und ließ die innere Einheitlichkeit fehlen.

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Wichtiger noch war, dass dieser Beweis einen grundlegenden Nachteil hatte: Er hing stark von der speziellen Symmetrie des Modells ab, das Hofstadter ursprünglich untersucht hatte, nämlich dem „fast Mathieu - Operator“ (Almost Mathieu Operator).

Dieses Modell ist ein hochgradig idealisiertes mathematisches Objekt, wie ein perfekter Kreis in der Geometrie.

Aber in der realen Welt sind physikalische Systeme viel komplexer: Das Gitter kann