Ein Mathematiker der Peking-Universität beendet eine 50-jährige Vermutung. Die Flügel einer Schmetterling haben es sogar den Gewinner des Fields-Medals schwer gemacht.

Nach 50 Jahren wurde endlich die bedeutende "Zehn-Martini-Vermutung" bewiesen! Mehrere Wissenschaftler wie Lingrui Ge von der Peking-Universität haben in der globalen Theorie die duale Gleichung gefunden und aus mathematischer Sicht die Flügel eines Schmetterlings entschlüsselt.

Nach einem halben Jahrhundert hat die "Zehn-Martini-Vermutung" endlich ein Ende gefunden.

Dieses Problem, das die Quantenphysik und die Mathematik verbindet, diente nur dazu, das Geheimnis des "Schmetterlings" - des "Hofstadter-Schmetterlings" (Hofstadter butterfly) - zu lösen.

Der berühmte amerikanische Mathematiker Mark Kac hat einmal scherzend gesagt, dass er jedem, der dieses Problem löst, zehn Martini-Koktails ausgesetzt geben würde.

Heute hat Lingrui Ge von der Peking-Universität auf der Grundlage der "globalen Theorie" des Fields-Medaille-Trägers Artur Avila eine neue Perspektive gefunden, um das Problem zu lösen.

Er hat sich mit Jiangong You und Qi Zhou von der Nankai-Universität zusammengeschlossen und einen einfachen, starken und eleganten Beweis konstruiert, der erfolgreich das Geheimnis der "dualen Gleichung" enthüllt hat.

Dieser Beweis wurde 2023 in der arXiv-Zeitschrift veröffentlicht.

Link zur Studie: https://arxiv.org/pdf/2306.16387

Es löst nicht nur das Problem des Hofstadter-Schmetterlings, sondern beweist auch die starke Macht der abstrakten Zahlentheorie in der physikalischen Realität.

Darüber hinaus haben sie auf der Grundlage der verbesserten "globalen Theorie" zwei weitere Schlüsselprobleme gelöst.

Zu diesem Thema hat Lingrui Ge gesagt, dass das Geheimnis hinter der "globalen Theorie" wie ein Leuchtfeuer im dunklen Ozean ist, das uns den richtigen Weg weist.

Woher stammt dieses Problem, das "zehn Martini" wert ist?

Ein zufälliger Versuch, ein Schmetterling entsteht

1974 war Douglas Hofstadter noch ein Physik-Doktorand an der Universität von Oregon. Er begleitete seinen Lehrer nach Regensburg in Deutschland, um sein Deutsch zu üben.

Damals traten sie beiden einem Team von Spitzen-Theoretikern in der Quantenphysik bei, um ein quantenmechanisches Problem zu lösen:

Wie kann man die Energieniveaus der Elektronen in einem Gitter in einem Magnetfeld bestimmen?

Douglas gewann den "Pulitzer-Preis" für sein Buch "Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid".

Douglas war wie ein "Außenstehender" und konnte überhaupt nicht folgen, was die anderen dachten.

Heute betrachtet er dies als eine Glückssache. Er sagte: "Das Team war damit beschäftigt, verschiedene Theoreme zu beweisen, aber sie hatten nichts mit der Essenz des Problems zu tun."

Also entschied er sich, einen anderen Weg zu gehen und eine "praktischere" Methode zu versuchen.

Anstatt Theoreme zu beweisen, löste er die Schrödinger-Gleichung - die Kerngleichung der Quantenphysik - mit einem 18-Kilogramm schweren HP 9820A-Desktop-Rechner.

Sie kann das Verhalten von Elektronen in einer bestimmten Umgebung erklären, insbesondere, wie viel Energie sie haben.

In diesem Problem enthält die Schrödinger-Gleichung eine "Variable alpha" - das Produkt aus der Magnetfeldstärke und der Fläche der Gitterzelle, das die Informationen über die auf das Elektron wirkenden Kräfte zusammenfasst.

Wenn alpha eine rationale Zahl ist, entweder eine ganze Zahl oder ein Bruch, ist die Lösung zwar schwierig, aber möglich;

sobald alpha jedoch eine irrationale Zahl ist, d. h. nicht als Bruch darstellbar, wird das Problem schwierig.

Douglas wollte nicht wie die anderen mit der irrationalen Zahl ringen, sondern begann stattdessen mit rationalen Zahlen, programmiertechnisch zu berechnen und gab Tag und Nacht Ergebnisse aus.

Die y-Achse repräsentiert den magnetischen Fluss, die x-Achse repräsentiert die Elektronenenergieniveaus.

Schließlich hat er diese "Energieniveauwerte" auf einem Millimeterpapier zusammengeklebt und mit einem Stift ein erstaunliches Muster skizziert.

Da es den Flügeln eines Schmetterlings ähnelt, wurde es als "Hofstadter-Schmetterling" (Hofstadter butterfly) bezeichnet.

Dieses Bild zeigt eine fraktale Struktur: Mit zunehmendem Nenner der rationalen Zahl alpha nehmen die verbotenen Bänder zwischen den Energieniveaus zu.

Noch erstaunlicher ist, dass die winzigen lokalen Bereiche des Musters erstaunlich ähnlich der Gesamtform sind.

Das fraktale Muster, das von den Elektronenenergieniveaus gebildet wird.

Er bemerkte scharf, dass hinter diesem Fraktal eine tiefe mathematische Wahrheit stecken muss - die Cantor-Menge (Georg Cantor).

Douglas bemerkte, dass sich die Menge der erlaubten Energieniveaus - d. h. die inktfarbenen Bänder in jeder Zeile des Schmetterlingsbildes - immer mehr einer Cantor-Menge annähert, wenn der Wert der rationalen Zahl alpha sich einem irrationalen Wert nähert.

Deshalb stellte er mutig die Hypothese auf, dass die Elektronenenergieniveaus möglicherweise eine echte Cantor-Menge bilden, wenn alpha eine irrationale Zahl ist.

Kernaussage der Cantor-Menge: Man nehme einen Strich, teile ihn in drei gleiche Teile und streiche dann den mittleren Teil weg, um zwei Striche zu erhalten, die durch eine Lücke getrennt sind. Wenn man diesen Vorgang unendlich oft wiederholt, erhält man schließlich eine unendliche Punktmenge, die wie Staub auf der Zahlengeraden verteilt ist.

Douglases Entdeckung wurde jedoch nicht sofort anerkannt.

Seine Kollegen lächelten über seine Methode als "Verdrehung von Stroh in Gold", und sogar sein Lehrer stieß es als "Zahlenmystik" (Numerologie) zurück und drohte, seine Forschungsgelder zu kürzen.

Aber Douglas ließ sich nicht beirren. Sein Instinkt sagte ihm, dass dieser "Schmetterling" von großer Bedeutung ist.

Das "Wettspiel" um zehn Martini

Jahre später kamen zwei berühmte Mathematiker aus einer völlig anderen Perspektive zu demselben Schluss.

Barry Simon und Mark Kac beschäftigten sich damals mit mathematischen Objekten der "fast-periodischen Funktionen" (almost-periodic functions).

Im Gegensatz zu periodischen Funktionen nähern sich ihre Werte unendlich aneinander an, wiederholen sich aber nie.

1981 haben Barry und Mark beim Mittagessen über die "Schrödinger-Gleichung" gesprochen, die Douglas zu lösen versuchte.

Sie fanden heraus, dass die Gleichung genau dann eine "fast-periodische Funktion" wird, wenn alpha eine irrationale Zahl ist.

Auf der Grundlage ihres Wissens über "fast-periodische Funktionen" kamen sie zu dem Schluss, dass die Elektronenenergieniveaus tatsächlich eine Cantor-Menge bilden könnten, was Douglases Vermutung weiter bestätigte.

Der Beweis dieser Vermutung war jedoch extrem schwierig. Damals hat Mark Kac gesagt, dass er jedem, der ihn beweisen kann, zehn Martini-Koktails ausgesetzt geben würde.

Diese Herausforderung erhielt den Namen "Zehn-Martini-Vermutung" und wurde zu einem der größten Rätsel in der Mathematik.

Über die Jahre haben Mathematiker ständig Fortschritte gemacht und schrittweise bewiesen, dass die Vermutung für einige (aber nicht alle) irrationale Zahlen alpha gilt.

1982 hat Barry ein solches vorläufiges Ergebnis angekündigt, und Mark hat drei Martini-Koktails ausgesetzt. Leider starb Mark 1984, bevor das Problem vollständig gelöst war.

Ein vollständiger Beweis, der zehn Martini wert ist, kam erst 20 Jahre später.

20 Jahre später bewies ein Fields-Medaille-Träger es

2003 hatte Svetlana Jitomirskaya gerade aufgegeben, die "Zehn-Martini-Vermutung" als Lebensaufgabe zu verfolgen.

Über die Jahre hatte sie sich auf die Untersuchung der "fast-periodischen Funktionen" in der Schrödinger-Gleichung konzentriert, aber ein Jahr zuvor war ihr Konkurrent Joaquim Puig schneller.

Joaquim hat auf der Grundlage ihrer früher veröffentlichten Techniken ein elegantes Argument entwickelt und bewiesen, dass die Vermutung für alle Fälle gilt, außer für einige wenige Arten von irrationalen Zahlen alpha.

Svetlana erinnerte sich: "Alle schwierigsten Arbeiten waren in meinem Beweis enthalten, aber er hat mir den Rang abgenommen."

Gerade als sie verzweifelt war, hat der 24-jährige Artur Avila vorgeschlagen, zusammenz