Die neunköpfige Gruppe um Chen Lin aus Tsinghua-Universität hat die geometrische Langlands-Vermutung gelöst. Ein Beweis über tausend Seiten dauerte 30 Jahre. Steht ein Sprung zum Fields-Preis an?

Nach 30 Jahren haben neun geniale Mathematiker endlich die „geometrische Langlands-Vermutung“ bewältigt! Fünf bahnbrechende Abhandlungen mit fast tausend Seiten haben endgültig ein Ende dieser Vermutung gesetzt und eine brandneue Tür für zukünftige mathematische Forschungen geöffnet. Erfreulicherweise ist auch der Tsinghua-Wissenschaftler Chen Lin ein wichtiger Autor der Abhandlungen.

Nach 30 Jahren Arbeit und fast 1000 Seiten an Abhandlungen haben sie endlich die „geometrische Langlands-Vermutung“ bewältigt!

Das Langlands-Programm, auch als „Theorie der All-Einheit“ bekannt, hat Mathematiker seit über einem halben Jahrhundert beschäftigt und bleibt bis heute ein ungelöstes Rätsel.

Heute hat ein Team von neun Wissenschaftlern unter der Leitung von Dennis Gaitsgory vom Max-Planck-Institut für Mathematik und Sam Raskin von der Yale-Universität in fünf Abhandlungen die Beweisführung für einen Zweig des Langlands-Programms abgeschlossen.

Ihre Ergebnisse haben nicht nur dieses Problem gelöst, sondern auch neue Forschungsgebiete für die Mathematik eröffnet.

Dennis Gaitsgory und Sam Raskin

Es ist erwähnenswert, dass einer der neun genialen Mathematiker der Assistentprofessor Chen Lin vom Yau Mathematical Sciences Center der Tsinghua-Universität ist.

Ein halbweltliches Rätsel, der mathematische „Gral“ könnte erobert werden

1967 wurde das „Langlands-Programm“ offiziell vorgeschlagen.

Damals legte der 30-jährige Professor an der Princeton-Universität, Robert Langlands, in einem 17-seitigen handschriftlichen Brief an André Weil erstmals seine Vorstellung dar.

Im Brief sagte Langlands, dass es möglich sei, in der Zahlentheorie und der Funktionenkörpertheorie, die mit dem „Rosettastein“ in Verbindung stehen, eine Verallgemeinerung der Fourier-Analyse zu entwickeln.

Das „Langlands-Programm“ wird auch als der „Rosettastein“ der Mathematik bezeichnet, da es versucht, die drei Gebiete der Zahlentheorie, der Funktionenkörpertheorie und der Geometrie zu vereinheitlichen.

Langlands' Ziel war es, zwei ganz unterschiedliche Zweige der Mathematik zu verbinden: die Zahlentheorie (die Untersuchung von ganzen Zahlen) und die harmonische Analyse (die Untersuchung, wie komplexe Signale in einfache Wellen zerlegt werden können).

Durch das „Langlands-Programm“ können viele traditionelle Probleme der Zahlentheorie in Probleme anderer Gebiete wie der Darstellungstheorie umgewandelt werden und mit neuen Perspektiven und Werkzeugen gelöst werden.

Es ist erwähnenswert, dass Andrew Wiles bei seinem Beweis des „Großen Fermatschen Satzes“ im Jahr 1995 die Kernidee des „Langlands-Programms“ übernahm.

Für n größer als 2 gibt es keine positiven ganzen Zahlen a, b, c, die der Gleichung aⁿ + bⁿ = cⁿ genügen.

Außer in der Mathematik wird dieses Programm auch in anderen Disziplinen wie der Physik, beispielsweise in der Quantenfeldtheorie, weit verbreitet angewendet.

Man kann sehen, dass Langlands damals nur zwei Gebiete vorschlug. Erst in den 1980er Jahren stellte Vladimir Drinfeld erstmals die „geometrische Langlands-Vermutung“ auf.

Wie in der Zahlentheorie basiert auch die Geometrie auf einer gewissen Verbindung: Sie deutet auf eine Korrespondenz zwischen zwei verschiedenen Arten von mathematischen Objekten hin.

Alle drei stehen in Verbindung mit der „Riemannschen Fläche“.

Dies ist eine eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, deren Koordinaten komplexe Zahlen sind, d. h. eine Kombination aus Real- und Imaginärteil. Diese Mannigfaltigkeiten können Kugeln, Donuts oder die Form eines Brezeis mit mehreren „Löchern“ haben.

Die zahlentheoretische Vermutung betrifft einen völlig getrennten „mathematischen Weltraum“, während die Unterschiede zwischen den beiden Aspekten der geometrischen Vermutung geringer sind.

Damals vermuteten viele Mathematiker, dass der Beweis der geometrischen Langlands-Vermutung möglicherweise die Entwicklung der schwierigeren Zahlentheorie voranbringen würde.

Die geometrische Langlands-Vermutung verbindet „zwei Welten“

In der Geometrie ist die „Fundamentalgruppe“ einer Seite der Vermutung. Die Fundamentalgruppe einer Riemannschen Fläche beschreibt alle verschiedenen Möglichkeiten, wie man um diese Fläche knoten kann.

Nehmen wir als Beispiel einen Donut. Man kann ihn horizontal um den Außenrand herum umkreisen oder vertikal durch das Loch hindurch.

Die geometrische Langlands-Vermutung befasst sich mit der „Darstellung“ dieser Fundamentalgruppe, d. h. mit der Verwendung von Matrizen (Rastern von Zahlen), um ihre Eigenschaften auszudrücken.

Die andere Seite der Vermutung betrifft eine besondere Art von „Garben“ (sheaves).

Dies sind Werkzeuge der algebraischen Geometrie, die jedem Punkt einer Mannigfaltigkeit einen „Vektorraum“ zuweisen, ähnlich wie eine Funktion, die ein Gravitationsfeld beschreibt, jedem Punkt im dreidimensionalen Raum einen Wert für die Gravitationsstärke zuweist.

Nachdem die „geometrische Langlands-Vermutung“ aufgestellt wurde, haben viele Mathematiker bereits in den 1990er Jahren wiederholt versucht, diesen Beweis zu finden.

Eine genaue Formulierung dieser Vermutung ist erst in diesem Jahrhundert erschienen.

2012 gaben Dennis Gaitsgory und Dima Arinkin in einer Abhandlung mit über 150 Seiten eine genauere Formulierung. Anschließend schrieb Dennis alleine einen schrittweisen Leitfaden für den Beweis der „geometrischen Langlands-Vermutung“.

Link zur Abhandlung: https://arxiv.org/pdf/1201.6343

Bis zur Veröffentlichung der neuesten Beweise hat dies direkt die lokale Forschung im Rahmen des „Langlands-Programms“ vorangetrieben. „Lokal“ bezieht sich hier auf die Eigenschaften von Objekten in einem torusförmigen Bereich um einen bestimmten Punkt auf der „Riemannschen Fläche“.

Fünf Abhandlungen mit fast tausend Seiten, 30 Jahre harte Arbeit

Seit 2023 hat Dennis Gaitsgory und Sam Raskin ein Team von sieben weiteren Mitautoren zusammengeführt, um an diesem Problem zu arbeiten.

Schließlich haben sie im Jahr 2024 insgesamt fünf arXiv-Abhandlungen mit fast tausend Seiten veröffentlicht.

Link: https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/

Die erste Abhandlung konzentriert sich hauptsächlich auf die Konstruktion eines Funktors und erfordert die Umwandlung von automorphen Formen in die Spektralrichtung.

Durch die Konstruktion des geometrischen Langlands-Funktors LG und die Verifizierung seiner Kategorienäquivalenz, d. h. die Herstellung einer vollständigen Korrespondenz zwischen den relevanten Kategorien, wird ein Abbildungsverhältnis hergestellt.

Der Nachweis dieser Beziehung würde direkt zur Gültigkeit der „geometrischen Langlands-Vermutung“ führen.

Link zur Abhandlung: https://arxiv.org/pdf/2405.03599

Die zweite Abhandlung untersucht eingehend die Wechselwirkung zwischen der lokalen und der globalen Struktur des Kac-Moody-Algebren und beweist unter bestimmten Bedingungen, dass der konstruierte Funktor ein äquivalenter Funktor ist, was den Beweis der Vermutung voranbringt.

Link zur Abhandlung: https://arxiv.org/pdf/2405.03648

Die dritte Abhandlung erweitert nicht nur die bekannten Äquivalenzresultate auf allgemeinere Fälle, sondern zeigt auch mithilfe der Kac-Moody-Lokalisierungstechnik die tiefe Verbindung zwischen dem geometrischen Langlands-Funktor und dem Konstanten-Term-Funktor auf.

Außerdem wird die Kompatibilität der Vermutung für reduzible Spektralparameter verifiziert, was den Weg für den endgültigen Beweis für irreduzible Spektralparameter ebnet.

Link zur Abhandlung: https://arxiv.org/pdf/2409.07051

In der nächsten Abhandlung beweisen die Forscher den Ambidexterity-Satz, der die